Câu 24 trang 54 Sách bài tập [SBT] Toán 9 tập 2
Đối với mỗi phương trình sau, hãy tìm giá trị của m để phương trình có nghiệm kép:
a]\[m{x^2} - 2\left[ {m - 1} \right]x + 2 = 0\]
b]\[3{x^2} + \left[ {m + 1} \right]x + 4 = 0\]
Giải
a]\[m{x^2} - 2\left[ {m - 1} \right]x + 2 = 0\]
Phương trình có nghiệm số kép
\[\Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{m \ne 0} \cr
{\Delta = 0} \cr} } \right.\]
\[\eqalign{
& \Delta = {\left[ { - 2\left[ {m - 1} \right]} \right]^2} - 4.m.2 \cr
& = 4\left[ {{m^2} - 2m + 1} \right] - 8m \cr
& = 4\left[ {{m^2} - 4m + 1} \right] \cr
& \Delta = 0 \Rightarrow 4\left[ {{m^2} - 4m + 1} \right] = 0 \cr
& \Leftrightarrow {m^2} - 4m + 1 = 0 \cr
& \Delta m = {\left[ { - 4} \right]^2} - 4.1.1 = 16 - 4 = 12 > 0 \cr
& \sqrt {\Delta m} = \sqrt {12} = 2\sqrt 3 \cr
& {m_1} = {{4 + 2\sqrt 3 } \over {2.1}} = 2 + \sqrt 3 \cr
& {m_2} = {{4 - 2\sqrt 3 } \over {2.1}} = 2 - \sqrt 3 \cr} \]
Vậy với \[m = 2 + \sqrt 3 \]hoặc \[m = 2 - \sqrt 3 \]thì phương trình đã cho có nghiệm số kép.
b]\[3{x^2} + \left[ {m + 1} \right]x + 4 = 0\]
Phương trình có nghiệm số kép\[\Leftrightarrow \Delta = 0\]
\[\eqalign{
& \Delta = {\left[ {m + 1} \right]^2} - 4.3.4 = {m^2} + 2m + 1 - 48 = {m^2} + 2m - 47 \cr
& \Delta = 0 \Rightarrow {m^2} + 2m - 47 = 0 \cr
& \Delta m = {2^2} - 4.1\left[ { - 47} \right] = 4 + 188 = 192 > 0 \cr
& \sqrt {\Delta m} = \sqrt {192} = 8\sqrt 3 \cr
& {m_1} = {{ - 2 + 8\sqrt 3 } \over {2.1}} = 4\sqrt 3 - 1 \cr
& {m_2} = {{ - 2 - 8\sqrt 3 } \over {2.1}} = - 1 - 4\sqrt 3 \cr} \]
Vậy với \[m = 4\sqrt 3 - 1\]hoặc \[m = - 1 - 4\sqrt 3 \]thì phương trình có nghiệm số kép.
Câu 25 trang 54 Sách bài tập [SBT] Toán 9 tập 2
Đối với mỗi phương trình sau, hãy tìm các giá trị của m để phương trình có nghiệm; tính nghiệm của phương trình theo m:
a] \[m{x^2} + \left[ {2x - 1} \right]x + m + 2 = 0\]
b] \[2{x^2} - \left[ {4m + 3} \right]x + 2{m^2} - 1 = 0\]
Giải
a]\[m{x^2} + \left[ {2m - 1} \right]x + m + 2 = 0\]
Nếu m = 0 ta có phương trình:\[- x + 2 = 0 \Leftrightarrow x = 2\]
Nếu m 0 phương trình có nghiệm khi và chỉ khi\[\Delta \ge 0\]
\[\eqalign{
& \Delta = {\left[ {2m - 1} \right]^2} - 4m\left[ {m + 2} \right] \cr
& = 4{m^2} - 4m + 1 - 4{m^2} - 8m \cr
& = - 12m + 1 \cr
& \Delta \ge 0 \Rightarrow - 12m + 1 \ge 0 \Leftrightarrow m \le {1 \over {12}} \cr
& \sqrt \Delta = \sqrt {1 - 12m} \cr
& {x_1} = {{ - \left[ {2m - 1} \right] + \sqrt {1 - 12m} } \over {2.m}} = {{1 - 2m + \sqrt {1 - 12m} } \over {2m}} \cr
& {x_2} = {{ - \left[ {2m - 1} \right] - \sqrt {1 - 12m} } \over {2.m}} = {{1 - 2m - \sqrt {1 - 12m} } \over {2 + }} \cr} \]
b] \[2{x^2} - \left[ {4m + 3} \right]x + 2{m^2} - 1 = 0\]
Phương trình có nghiệm khi và chỉ khi\[\Delta \ge 0\]
\[\eqalign{
& \Delta = {\left[ { - \left[ {4m + 3} \right]} \right]^2} - 4.2\left[ {2{m^2} - 1} \right] \cr
& = 16{m^2} + 24m + 9 - 16{m^2} + 8 \cr
& = 24m + 17 \cr
& \Delta \ge 0 \Rightarrow 24m + 17 \ge 0 \Leftrightarrow m > - {{17} \over {24}} \cr
& \sqrt \Delta = \sqrt {24m + 17} \cr
& {x_1} = {{4m + 3 + \sqrt {24m + 17} } \over 4} \cr
& {x_2} = {{4m + 3 - \sqrt {24m + 17} } \over 4} \cr} \]
Câu 26 trang 54 Sách bài tập [SBT] Toán 9 tập 2
Vì sao khi phương trình \[a{x^2} + bx + c = 0\]có các hệ số a và c trái dấu thì nó có nghiệm?
Áp dụng. Không tính , hãy giải thích vì sao mỗi phương trình sau có nghiệm:
a]\[3{x^2} - x - 8 = 0\]
b]\[2004{x^2} + 2x - 1185\sqrt 5 = 0\]
c]\[3\sqrt 2 {x^2} + \left[ {\sqrt 3 - \sqrt 2 } \right]x + \sqrt 2 - \sqrt 3 = 0\]
d]\[2010{x^2} + 5x - {m^2} = 0\]
Giải
Phương trình\[a{x^2} + bx + c = 0\]
a và c trái dấu \[\Rightarrow ac < 0\]suy ra\[- ac > 0 \Rightarrow - 4ac > 0\]
\[\Delta = {b^2} - 4ac\]ta có \[{b^2} \ge 0\];\[- 4ac > 0 \Leftrightarrow {b^2} - 4ac > 0\]
\[\Rightarrow \Delta = {b^2} - 4ac > 0\]. Phương trình có hai nghiệm phân biệt.
Áp dụng:
a]\[3{x^2} - x - 8 = 0\]
Có a = 3; c = -8 ac < 0. Phương trình có hai nghiệm phân biệt.
b]\[2004{x^2} + 2x - 1185\sqrt 5 = 0\]
Có a = 2004; c = \[- 1185\sqrt 5 \] ac < 0. Phương trình có hai nghiệm phân biệt.
c]\[3\sqrt 2 {x^2} + \left[ {\sqrt 3 - \sqrt 2 } \right]x + \sqrt 2 - \sqrt 3 = 0\]
Có \[a = 3\sqrt 2 > 0;c = \sqrt 2 - \sqrt 3 < 0\][vì \[\sqrt 2 < \sqrt 3 \]]
ac < 0. Phương trình có hai nghiệm phân biệt.
d]\[2010{x^2} + 5x - {m^2} = 0\]
Nếu m = 0 phương trình có dạng có 2 nghiệm
Nếu\[m \ne 0 \Rightarrow {m^2} > 0 \Rightarrow - {m^2} < 0\]
\[a = 2010 > 0;c = - {m^2} < 0 \Rightarrow ac < 0.\]Phương trình có 2 nghiệm phân biệt.
Vậy với mọi m R thì phương trình \[2010{x^2} + 5x - {m^2} = 0\]luôn có hai nghiệm phân biệt.