Bài 5 trang 99 SGK Hình học 12
Cho tứ diện \[ABCD\] có cạnh \[AD\] vuông góc với mặt phẳng \[[ABC]\]. Biết rằng \[AC = AD = 4 cm\], \[AB = 3 cm, BC = 5 cm\].
a] Tính thể tích tứ diện \[ABCD\].
b] Tính khoảng cách từ điểm \[A\] tới mặt phẳng \[[BCD]\].
Giải
Chọn hệ toạ độ gốc là điểm \[A\], các đường thẳng \[AB, AC, AD\] theo thứ tự là các trục \[Ox, Oy, Oz\].
Ta có: \[A[0; 0; 0], B[3; 0; 0]\]
\[C[0; 4; 0], D[0; 0; 4]\]
Ta có: \[\overrightarrow {AB} = [3; 0; 0] \Rightarrow AB = 3\]
\[\overrightarrow {AC} = [0; 4; 0] \Rightarrow AC = 4\]
\[\overrightarrow {AD} = [0; 0; 4] \Rightarrow AD = 4\]
\[V_{ABCD}\]= \[{1 \over 6}AB.AC.AD = 8 [cm^3]\]
b] Áp dụng công thức phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn, ta có phương trình mặt phẳng \[[BDC]\] là:
\[{x \over 3} + {y \over 4} + {z \over 4} = 1 \Leftrightarrow 4x + 3y + 3z - 12 = 0\]
Từ đây ta có: \[d[A, [BDC]] ={{\left| {12} \right|} \over {\sqrt {{3^2} + {4^2} + {4^2}} }} = {{12} \over {\sqrt {34} }}\]
Bài 6 trang 100 SGK Hình học 12
Trong không gian \[Oxyz\] cho mặt cầu \[[S]\] có phương trình \[{x^2} + {\rm{ }}{y^2} + {\rm{ }}{z^2} = {\rm{ }}4{a^{2}}\left[ {a > 0} \right]\].
a] Tính diện tích mặt cầu \[[S]\] và thể tích của khối cầu tương ứng.
b] Mặt cầu \[[S]\] cắt mặt phẳng \[[Oxy]\] theo đường tròn \[[C]\]. Xác định tâm và bán kính của \[[C]\].
c] Tính diện tích xung quanh của hình trụ nhận \[[C]\] làm đáy và có chiều cao là \[a\sqrt3\]. Tính thể tích của khối trụ tương ứng.
Giải
a] Mặt cầu \[[S]\] có tâm là gốc toạ độ \[O\] và bán kính \[R = 2a\] nên có
\[S = 16πa^2\]; \[V ={{32\pi {a^2}} \over 3}\]
b] Phương trình đường tròn \[[C]\], giao tuyến của mặt cầu và mặt phẳng \[Oxy\] là:\[\left\{ \matrix{
{x^2} + {y^2} + {z^2} = 4{a^2} \hfill \cr
z = 0 \hfill \cr} \right.\]
Từ đây suy ra mặt phẳng \[z = 0\] cắt mặt cầu theo đường tròn \[[C]\] có tâm là gốc toạ độ \[O\] và bán kính là \[2a\].
c] Hình trụ có đáy là đường tròn \[[C]\] và chiều cao \[a\sqrt3\] có:
\[S_{xq}= 2π.[2a].a\sqrt3\] \[\Rightarrow S_{xq}= 4πa^2\sqrt3\]
\[V = π[2a]^2.a\sqrt3\] \[\Rightarrow V = 4πa^3\sqrt3\]
Bài 7 trang 100 SGK Hình học 12
Trong không gian \[Oxyz\] cho hai đường thẳng d1và d2có phương trình
d1:\[\left\{ \matrix{
x = 1 - t \hfill \cr
y = t \hfill \cr
z = - t \hfill \cr} \right.\] và d2:\[\left\{ \matrix{
x = 2k \hfill \cr
y = - 1 + k \hfill \cr
z = k. \hfill \cr} \right.\]
a] Chứng minh rằng hai đường thẳng d1và d2chéo nhau.
b] Viết phương trình mặt phẳng \[[α]\] chứa d1và song song với d2.
Giải
a] [d1] đi qua điểm \[M[1; 0; 0]\] và có vectơ chỉ phương \[\overrightarrow a = [-1; 1; -1]\]
[d2] đi qua điểm \[M'[0; -1; 0]\] và có vectơ chỉ phương \[\overrightarrow {a'} = [2; 1; 1]\]
Vì \[\overrightarrow a \]và \[\overrightarrow {a'} \]không cùng phương nên d1và d2có thể chéo nhau hoặc cắt nhau. Xét giao của d1và d2:\[\left\{ \matrix{
1 - t = 2k \hfill \cr
t = - 1 + k \hfill \cr
- 1 = k \hfill \cr} \right.\], hệ vô nghiệm
do đó d1và d2không cắt nhau. Từ đó suy ra d1và d2chéo nhau.
b] Mặt phẳng \[[α]\] chứa [d1] và song song với d2thì \[[α]\] qua điểm \[M_1[1; 0; 0]\] và có vectơ pháp tuyến \[\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {{a_1}} ,\overrightarrow {{a_2}} } \right]= [2; -1; -3]\]
Phương trình mặt phẳng \[[α]\] có dạng:
\[2[x - 1] - [y - 0] - 3[z - 0] = 0\]
hay \[2x - y - 3z - 2 = 0\]
Bài 8 trang 100 SGK Hình học 12
Trong không gian \[Oxyz\] cho các điểm \[A[1; 0 ; -1], B[3 ; 4 ; -2], C[4 ; -1; 1], D[3 ; 0 ;3]\].
a] Chứng minh rằng \[A, B, C, D\] không đồng phẳng.
b] Viết phương trình mặt phẳng \[[ABC]\] và tính khoảng cách từ \[D\] đến \[[ABC]\].
c] Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện \[ABCD\].
d] Tính thể tích tứ diện \[ABCD\].
Giải
a] Ta có: \[\overrightarrow {AB} = [2; 4; 3]\].
Phương trình tham số của đường thẳng \[AB\]:
\[\left\{ \matrix{
x = 1 + 2t \hfill \cr
y = 4t \hfill \cr
z = - 1 + 3t \hfill \cr} \right.\]
\[\overrightarrow {CD} = [-1; 1; 2]\]. Phương trình tham số của \[CD\]:
\[\left\{ \matrix{
x = 4 - k \hfill \cr
y = - 1 + k \hfill \cr
z = 1 + 2k \hfill \cr} \right.\]
Do \[\overrightarrow {AB} \ne k\overrightarrow {CD} \]nên hai đường thẳng \[AB, CD\] không cùng phương, chúng cắt nhau hoặc chéo nhau.
Xét hệ:
\[\left\{ \matrix{
1 + 3t = 4 - t'[1] \hfill \cr
4t = - 1 + t'[2] \hfill \cr
- 1 + 3t = 1 + 2t'[3] \hfill \cr} \right.\]
Từ hai phương trình đầu, ta có: \[t = {2 \over 7}\]; \[t' = {{15} \over 7}\]
Hai giá trị này không thoả mãn phương trình [3] nên hệ vô nghiệm, suy ra \[AB\] và \[CD\] không cắt nhau.
Vậy \[AB\] và \[CD\] là hai đường thẳng chéo nhau hay bốn điểm \[A, B, C, D\] không đồng phẳng.
b] Ta có \[\overrightarrow {AB} = [2; 4; -1]\], \[\overrightarrow {AC} = [3; -1; 2]\]
Gọi \[\overrightarrow n \]là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \[[ABC]\]
\[\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = [7; -7; -14]\]
phương trình mp \[[ABC]\]: \[7[x - 1] - 7[y - 0] -14[z + 1] = 0\]
\[7x - 7y -14z - 21 = 0 \Leftrightarrow x - y - 2z - 3 = 0\].
\[d[D, [ABC]]\] =\[{{\left| {1.3 - 0 - 2.3 - 3} \right|} \over {\sqrt {{1^2} + {1^2} + {{[ - 2]}^2}} }} = {6 \over {\sqrt 6 }} = \sqrt 6 \]
c] Phương trình tổng quát của mặt cầu:
\[{x^2} + {y^2} + {z^2} + 2Ax + 2By + 2Cz + D = 0\]
Mặt cầu đi qua \[A[1; 0; -1]\] ta có:
\[{1^2} + {0^2} + {[ - 1]^2} + 2A - 2C + D = 0\]
\[ \Leftrightarrow 2A - 2C + D + 2 = 0 \] [1]
Tương tự, mặt cầu đi qua \[B, C, D\] cho ta các phương trình:
\[2A + 8B - 2C + D + 18 = 0 \] [2]
\[4A + 8B + 6C + D + 29 = 0 \] [3]
\[4A + 4B - 2C + D + 9 = 0 \] [4]
Hệ bốn phương trình [1], [2], [3], [4] cho ta: \[A = 3; B = 2; C = {1 \over 2}; D = 3\]. Ta được tâm của mặt cầu \[I\]\[\left[ { - 3; - 2; - {1 \over 2}} \right]\]và bán kính:
\[R= 3^2+ 2^2+ {\left[ {{1 \over 2}} \right]^2} - 3 = {{41} \over 4} \Rightarrow R = {{\sqrt {41} } \over 2}\]
Phương trình mặt cầu đi qua bốn điểm \[A, B, C, D\] là:
\[[x - 3]^2+ [y - 2]^2+ {\left[ {z - {1 \over 2}} \right]^2} = {{41} \over 4}\]
d] Ta có \[\overrightarrow {AB} = [2; 4; -1]\] \[\Rightarrow AB^2= 4 + 16 + 1 = 21\]\[\Rightarrow AB = \sqrt {21} \]
\[\overrightarrow {AC} = [3; -1; 2]\] \[\Rightarrow AC^2= 9 + 1 + 4 = 14\]\[\Rightarrow AC = \sqrt {14} \]
Xét \[\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = 2.3 + 4.[-1] + [-1].2 = 0\]\[\Rightarrow \overrightarrow {AB} \bot \overrightarrow {AC} \]
Tam giác \[ABC\] vuông tại đỉnh \[A\], có diện tích:
\[{S_{ABC}} = {1 \over 2}AB.AC = {1 \over 2}\sqrt {21} .\sqrt {14} \]
Thể tích tứ diện \[ABCD\]:
\[{V_{ABCD}} = {1 \over 3}.{S_{ABC}}.DH = {1 \over 3}.{1 \over 2}.\sqrt {21} .\sqrt {14} .\sqrt 6 = 7\][Đvdt]