- LG a
- LG b
Cho tam giác ABC có \[\widehat {BAC} = {60^ \circ },AB = 4\]và \[AC = 6\].
LG a
Tính tích vô hướng \[\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {BC} \], độ dài cạnh BC và bán kính R của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC;
Phương pháp giải:
Sử dụng công thức tích vô hướng \[\overrightarrow a .\overrightarrow b = \left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|.\cos \left[ {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right]\].
Xen điểm tích hợp để tính tích vô hướng của \[\overrightarrow {AB} \] và \[\overrightarrow {BC} \].
Giải chi tiết:
\[\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = AB.AC.\cos A = 4.6.\left[ {\dfrac{1}{2}} \right] = 12\]
\[\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {BC} = \overrightarrow {AB} \left[ {\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AB} } \right]\]\[ = \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} - A{B^2} = 12 - 16 = - 4\]
\[B{C^2} = {\left[ {\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AB} } \right]^2}\] \[ = A{C^2} - 2\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} + A{B^2}\] \[ = 36 - 2.12 + 16 = 28\]
\[ \Rightarrow BC = 2\sqrt 7 \]
\[R = \dfrac{{BC}}{{2\sin A}} = \dfrac{{2\sqrt 7 }}{{2.\dfrac{{\sqrt 3 }}{2}}} = \dfrac{{2\sqrt {21} }}{3}.\]
LG b
Lấy các điểm M, N định bởi: \[2\overrightarrow {AM} + 3\overrightarrow {MC} = \overrightarrow 0 \] và \[\overrightarrow {NB} + x\overrightarrow {NC} = \overrightarrow 0 [x \ne - 1]\]. Định \[x\] để AN vuông góc với BM.
Phương pháp giải:
Biểu diễn \[\overrightarrow {AN} ,\overrightarrow {BM} \] theo các véc tơ \[\overrightarrow {AB} \] và \[\overrightarrow {AC} \].
Sử dụng lý thuyết \[AN \bot BM \Leftrightarrow \overrightarrow {AN} .\overrightarrow {BM} = 0\] tìm \[x\].
Giải chi tiết:
\[2\overrightarrow {AM} + 3\overrightarrow {MC} = \overrightarrow 0 \] \[ \Leftrightarrow 2\overrightarrow {AM} + 3[\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AM} ] = \overrightarrow 0 \] \[ \Rightarrow \overrightarrow {AM} = 3\overrightarrow {AC} \] \[ \Rightarrow \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BM} = 3\overrightarrow {AC} \] \[ \Rightarrow \overrightarrow {BM} = 3\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AB} \]
và \[\overrightarrow {NB} + x\overrightarrow {NC} = \overrightarrow 0 \] \[ \Rightarrow \overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AN} + x\left[ {\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AN} } \right] = \overrightarrow 0 \]
\[ \Rightarrow \overrightarrow {AN} = \dfrac{1}{{x + 1}}[\overrightarrow {AB} + x\overrightarrow {AC} ].\]
ANvuông góc vớiBM \[ \Leftrightarrow \overrightarrow {AN} .\overrightarrow {BM} = 0\]
\[ \Leftrightarrow \left[ {\overrightarrow {AB} + x\overrightarrow {AC} } \right][3\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AB} ] = 0\]\[ \Leftrightarrow [3 - x]\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} - A{B^2} + 3xA{C^2} = 0\] \[ \Leftrightarrow \left[ {3 - x} \right].12 - 16 + 3x.36 = 0\] \[ \Leftrightarrow 96x + 20 = 0 \Leftrightarrow x = - \dfrac{5}{{24}}\].