- LG a
- LG b
Cho hình hộp chữ nhật ABCD.ABCD có A[0;0;0], B[a;0;0], D[0;a;0], A[0;0;b] với a, b là những số dương và M là trung điểm của CC.
LG a
Tính thể tích của tứ diện BDAM.
Lời giải chi tiết:
Từ giả thiết ta có C=[a;a;0].
\[C' = [a;a;b] \Rightarrow M = \left[ {a;a;{b \over 2}} \right]\]
Ta có \[\overrightarrow {BD} = \left[ { - a;a;0} \right];\]
\[\overrightarrow {BM} = \left[ {0;a;{b \over 2}} \right];\,\,\overrightarrow {BA'} = \left[ { - a;0;b} \right]\]
\[ \Rightarrow \left[ {\left[ {\overrightarrow {BD} ,\overrightarrow {BM} } \right]} \right] = \left[ {{{ab} \over 2};{{ab} \over 2}; - {a^2}} \right]\]
Vậy \[{V_{BDA'M}} = {1 \over 6}\left| {\left[ {\overrightarrow {BD} ,\overrightarrow {BM} } \right].\overrightarrow {BA'} } \right| = {{{a^2}b} \over 4}.\]
LG b
Tìm tỉ số \[{a \over b}\] để mp[ABD] vuông góc với mp[MBD].
Lời giải chi tiết:
Mặt phẳng [ABD] có vec tơ pháp tuyến
\[\overrightarrow {{n_1}} = \left[ {\overrightarrow {BD} ,\overrightarrow {BA'} } \right] = [ab;ab;{a^2}].\]
Mặt phẳng [MBD] có vectơ pháp tuyến
\[\overrightarrow {{n_2}} = \left[ {\overrightarrow {BD} ,\overrightarrow {BM} } \right] = [{{ab} \over 2};{{ab} \over 2}; - {a^2}].\]
Vì vậy
\[\eqalign{ & \left[ {MBD} \right] \bot [A'BD] \Leftrightarrow \overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow {{n_2}} = 0 \cr & \Leftrightarrow {{{a^2}{b^2}} \over 2} + {{{a^2}{b^2}} \over 2} - {a^4} = 0 \cr & \Leftrightarrow {a^2}{b^2} = {a^4} \Leftrightarrow {a^2} = {b^2} \Leftrightarrow a = b \Leftrightarrow {a \over b} = 1. \cr & \cr} \]
[do \[a > 0,b > 0].\]