- LG a
- LG b
- LG c
Giải các phương trình sau :
LG a
\[3{\sin ^2}x - \sin 2x - {\cos ^2}x = 0\]
Lời giải chi tiết:
Cách 1 : [chia hai vế cho \[{\cos ^2}x\]].
Ta có:
\[\begin{array}{l}
3{\sin ^2}x - \sin 2x - {\cos ^2}x = 0\\
\Leftrightarrow 3{\sin ^2}x - 2\sin x\cos x - {\cos ^2}x = 0
\end{array}\]
Xét \[\cos x = 0 \Rightarrow {\sin ^2}x = 1\] thay vào phương trình ra được:
\[3.1 - 2.0 - 0 = 0\] [vô lí]
Do đó \[\cos x\ne 0\], chia cả hai vế cho \[\cos ^2x\ne 0\] ta được:
\[\begin{array}{l}
Pt \Leftrightarrow \frac{{3{{\sin }^2}x}}{{{{\cos }^2}x}} - 2.\frac{{\sin x\cos x}}{{{{\cos }^2}x}} - \frac{{{{\cos }^2}x}}{{{{\cos }^2}x}} = 0\\
\Leftrightarrow 3{\tan ^2}x - 2\tan x - 1 = 0\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\tan x = 1\\
\tan x = - \frac{1}{3}
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = \frac{\pi }{4} + k\pi \\
x = \arctan \left[ { - \frac{1}{3}} \right] + k\pi
\end{array} \right.
\end{array}\]
Từ đó suy ra các nghiệm của phương trình là : \[x = \frac{\pi }{4} + k\pi \] và \[x = \arctan \left[ { - \frac{1}{3}} \right] + k\pi\].
Cách 2 : [dùng công thức hạ bậc]
\[\eqalign{& 3{\sin ^2}x - \sin 2x - {\cos ^2}x = 0 \cr & \Leftrightarrow {{3\left[ {1 - \cos 2x} \right]} \over 2} - \sin 2x - {{1 + \cos 2x} \over 2} = 0 \cr &\Leftrightarrow 3 - 3\cos 2x - 2\sin 2x - 1 - \cos 2x = 0\cr&\Leftrightarrow - 2\sin 2x - 4\cos 2x + 2 = 0 \cr & \Leftrightarrow \sin 2x + 2\cos 2x = 1 \cr & \Leftrightarrow {1 \over {\sqrt 5 }}\sin 2x + {2 \over {\sqrt 5 }}\cos 2x = {1 \over {\sqrt 5 }} \cr & \text{Chọn }\,\alpha \,\text{ là số thỏa mãn }\cr&\sin \alpha = {1 \over {\sqrt 5 }}\,\text{ và }\,\cos \alpha = {2 \over {\sqrt 5 }}\cr&\text{ Ta có }: \cr &\sin \alpha \sin 2x + \cos \alpha \cos 2x = \sin \alpha \cr&\Leftrightarrow \cos \left[ {2x - \alpha } \right] = \cos \left[ {\frac{\pi }{2} - \alpha } \right]\cr & \Leftrightarrow 2x - \alpha = \pm \left[ {{\pi \over 2} - \alpha } \right] + k2\pi \cr
& \Leftrightarrow \left[ {\matrix{{x = {\pi \over 4} + k\pi } \cr {x = \alpha - {\pi \over 4} + k\pi } \cr} } \right.\left[ {k \in \mathbb Z} \right] \cr} \]
LG b
\[3{\sin ^2}2x - \sin 2x\cos 2x - 4{\cos ^2}2x = 2\]
Lời giải chi tiết:
Xét \[\cos 2x = 0 \Rightarrow {\sin ^2}2x = 1\] thay vào pt ta được:
\[3.1 - 0 - 4.0 = 2\] [vô lí]
Do đó chia cả hai vế cho \[{\cos ^2}2x \ne 0\] ta được:
\[3.\frac{{{{\sin }^2}2x}}{{{{\cos }^2}2x}} - \frac{{\sin 2x\cos 2x}}{{{{\cos }^2}2x}} - 4.\frac{{{{\cos }^2}2x}}{{{{\cos }^2}2x}} = \frac{2}{{{{\cos }^2}2x}}\]
\[\eqalign{& \Leftrightarrow 3{\tan ^2}2x - \tan 2x - 4 = 2\left[ {1 + {{\tan }^2}2x} \right] \cr & \Leftrightarrow {\tan ^2}2x - \tan 2x - 6 = 0 \cr&\Leftrightarrow \left[ {\matrix{{\tan 2x = - 2} \cr {\tan 2x = 3} \cr} } \right. \cr & \Leftrightarrow \left[ {\matrix{{x = {\alpha \over 2} + k{\pi \over 2}} \cr {x = {\beta \over 2} + k{\pi \over 2}} \cr} } \right.\cr&\text{trong đó }\tan 2\alpha = - 2\,\text{và}\,\tan 2\beta = 3 \cr} \]
LG c
\[2{\sin ^2}x + \left[ {3 + \sqrt 3 } \right]\sin x\cos x + \left[ {\sqrt 3 - 1} \right]{\cos ^2}x = - 1\]
Lời giải chi tiết:
Xét \[\cos x = 0 \Rightarrow {\sin ^2}x = 1\] thay vào pt ta được:
\[2.1 + \left[ {3 + \sqrt 3 } \right].0 + \left[ {\sqrt 3 - 1} \right].0 = - 1\] [vô lí]
Do đó chia cả hai vế cho \[{\cos ^2}x \ne 0\] ta được:
\[2.\frac{{{{\sin }^2}x}}{{{{\cos }^2}x}} + \left[ {3 + \sqrt 3 } \right]\frac{{\sin x\cos x}}{{{{\cos }^2}x}} + \left[ {\sqrt 3 - 1} \right].\frac{{{{\cos }^2}x}}{{{{\cos }^2}x}} = \frac{{ - 1}}{{{{\cos }^2}x}}\]
\[\eqalign{&\Leftrightarrow 2{\tan ^2}x + \left[ {3 + \sqrt 3 } \right]\tan x + \sqrt 3 - 1 = - \left[ {1 + {{\tan }^2}x} \right] \cr & \Leftrightarrow 3{\tan ^2}x + \left[ {3 + \sqrt 3 } \right]\tan x + \sqrt 3 = 0 \cr & \Leftrightarrow \left[ {\matrix{{\tan x = - 1} \cr {\tan x = - {{\sqrt 3 } \over 3}} \cr} } \right. \cr&\Leftrightarrow \left[ {\matrix{{x = - {\pi \over 4} + k\pi } \cr {x = - {\pi \over 6} + k\pi } \cr} } \right.\,\left[ {k \in\mathbb Z} \right] \cr} \]