Video hướng dẫn giải
- LG a
- LG b
- LG c
Cho ba điểm \[A[4; 3], B[2; 7], C[-3; -8]\]
LG a
Tìm tọa độ điểm \[G\] , trực tâm \[H\] của tam giác \[ABC\].
Phương pháp giải:
Sử dụng công thức trọng tâm tìm \[G\].
Sử dụng tính chất \[\overrightarrow {AH} .\overrightarrow {BC} = 0\] và \[\overrightarrow {BH} .\overrightarrow {AC} = 0\] tìm tọa độ điểm \[H\].
Lời giải chi tiết:
Gọi \[G[x_G; \, y_G]\] là trọng tâm tam giác \[\Delta ABC.\] Khi đó ta có:
\[\eqalign{
& {x_G} = {{{x_A} + {x_B} + {x_C}} \over 3}\cr& \Rightarrow {x_G} = {{4 + 2 - 3} \over 3} = 1 \cr
& {y_G} = {{{y_A} + {y_B} + {y_C}} \over 3}\cr& \Rightarrow {y_G} = {{3 + 7 - 8} \over 3} = {2 \over 3} \cr} \]
Vậy \[G\left[1; \, \, {2 \over 3}\right]\]
Gọi \[[x; y]\] là tọa độ của \[H\]
\[\eqalign{
& \overrightarrow {AH} = [x - 4; \, y - 3];\cr&\overrightarrow {BC} = [ - 5; \, - 15] \cr
& \overrightarrow {BH} = [x - 2; \, y - 7];\cr&\overrightarrow {AC} = [ - 7; \, - 11] \cr
& \overrightarrow {AH} \bot \overrightarrow {BC}\cr& \Leftrightarrow \overrightarrow {AH} .\overrightarrow {BC} = 0 \cr
& \Leftrightarrow - 5[x - 4] - 15[y - 3] = 0 \cr&\Leftrightarrow x + 3y - 13 = 0 \cr
& \overrightarrow {BH} \bot \overrightarrow {AC} \cr&\Leftrightarrow \overrightarrow {BH} .\overrightarrow {AC} = 0 \cr
& \Leftrightarrow - 7[x - 2] - 11[y - 7] = 0 \cr&\Leftrightarrow 7x + 11y - 91 = 0 \cr} \]
Tọa độ điểm \[H\] là nghiệm của hệ phương trình:
\[\left\{ \matrix{
x +3 y - 13 = 0 \hfill \cr
7x + 11y - 91 = 0 \hfill \cr} \right. \Rightarrow H[13;0]\]
Cách khác:
Ta có: \[\overrightarrow {BC} = \left[ { - 5; - 15} \right]\]
\[AH \bot BC\] nên \[AH\] nhận \[\overrightarrow {{n_1}} = - \dfrac{1}{5}\overrightarrow {BC} = \left[ {1;3} \right]\] làm VTPT.
Mà \[AH\] đi qua \[A\left[ {4;3} \right]\] nên \[1\left[ {x - 4} \right] + 3\left[ {y - 3} \right] = 0\] \[ \Leftrightarrow x + 3y - 13 = 0\]
\[\overrightarrow {AC} = \left[ { - 7; - 11} \right]\]
\[BH \bot AC\] nên \[BH\] nhận \[\overrightarrow {{n_2}} = - \overrightarrow {AC} = \left[ {7;11} \right]\] làm VTPT.
Mà \[BH\] đi qua \[B\left[ {2;7} \right]\] nên \[7\left[ {x - 2} \right] + 11\left[ {y - 7} \right] = 0\] \[ \Leftrightarrow 7x + 11y - 91 = 0\]
\[H = AH \cap BH\] \[ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + 3y - 13 = 0\\7x + 11y - 91 = 0\end{array} \right.\] \[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 13\\y = 0\end{array} \right.\] \[ \Rightarrow H\left[ {13;0} \right]\] .
LG b
Tìm \[T\] là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác \[ABC\]. Chứng minh \[T, G, H\] thẳng hàng.
Phương pháp giải:
\[T\] là tâm đường tròn ngoại tiếp thì \[TA=TB=TC\].
Lời giải chi tiết:
Tâm \[T\] của đường tròn ngoại tiếp tam giác \[ABC\] thỏa mãn điều kiện
\[TA = TB = TC \]\[ TA^2= TB^2= TC^2\]
\[ {\left[ {x{\rm{ }}-{\rm{ }}4} \right]^2} +{\left[ {y-3} \right]^2} \]\[= {\rm{ }}{\left[ {x{\rm{ }}-{\rm{ }}2} \right]^2} + {\left[ {y{\rm{ }}-{\rm{ }}7} \right]^2}\]
\[ \Leftrightarrow {x^2} - 8x + 16 + {y^2} - 6y + 9\] \[= {x^2} - 4x + 4 + {y^2} - 14y + 49\]
\[ \Leftrightarrow - 4x + 8y - 28 = 0\]
\[ \Leftrightarrow {\rm{ }}x{\rm{ }}-{\rm{ }}2y{\rm{ }} + {\rm{ }}7 =0\]
\[{\left[ {x{\rm{ }}-{\rm{ }}4} \right]^2} +{\left[ {y-3} \right]^2} \]\[= {\rm{ }}{\left[ {x{\rm{ }} + {\rm{ }}3} \right]^2} + {\rm{ }}{\left[ {y +8} \right]^2}\]
\[\Leftrightarrow {x^2} - 8x + 16 + {y^2} - 6y + 9 \] \[= {x^2} + 6x + 9 + {y^2} + 16y + 64\]
\[ \Leftrightarrow - 14x - 22y - 48 = 0\]
\[ \Leftrightarrow {\rm{ }}7x{\rm{ }} + 11y +24 = 0\]
Do đó tọa độ tâm \[T\] của đường tròn ngoại tiếp tam giác \[ABC\] là nghiệm của hệ:
\[\left\{ \matrix{
x - 2y + 7 = 0 \hfill \cr
7x + 11y + 24 = 0 \hfill \cr} \right. \Rightarrow T[ - 5;1]\]
Ta có: \[\overrightarrow {TH} = [ 18;-1];\overrightarrow {TG} = \left[ {6; - \dfrac{1}{3}} \right]\]
Ta có: \[\overrightarrow {TH} = {3}\overrightarrow {TG} \]
Vậy ba điểm \[H, G, T\] thẳng hàng.
LG c
Sử dụng công thức phương trình đường tròn biết tâm và bán kính.
Lời giải chi tiết:
Đường tròn ngoại tiếp tam giác \[ABC\] có tâm \[T[-5; 1]\], bán kính \[R = AT\]
\[{R^2} = A{T^2} = {\left[ { - 5-{\rm{ }}4} \right]^2} + {\rm{ }}{\left[ {1-3} \right]^2} \]\[= 85\]
Vậy phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác \[ABC\] là:
\[[x + 5]^2+ [y 1]^2= 85\]