- LG a
- LG b
- LG c
- LG d
- LG e
- LG g
Giải các bất phương trình logarit sau:
LG a
\[\displaystyle {\log _{\frac{1}{3}}}[x - 1] \ge - 2\]
Phương pháp giải:
Biến đổi bất phương trình dạng cơ bản và sử dụng so sánh logarit:
+ Nếu \[\displaystyle 0 < a < 1\] thì \[\displaystyle {\log _a}f\left[ x \right] > {\log _a}g\left[ x \right]\] \[\displaystyle \Leftrightarrow f\left[ x \right] < g\left[ x \right]\].
+ Nếu \[\displaystyle a > 1\] thì \[\displaystyle {\log _a}f\left[ x \right] > {\log _a}g\left[ x \right]\] \[\displaystyle \Leftrightarrow f\left[ x \right] > g\left[ x \right]\].
Lời giải chi tiết:
Điều kiện: \[\displaystyle x - 1 > 0 \Leftrightarrow x > 1\].
\[\displaystyle {\log _{\frac{1}{3}}}[x - 1] \ge - 2\]\[\displaystyle \Leftrightarrow x - 1 \le {\left[ {\frac{1}{3}} \right]^{ - 2}}\]\[\displaystyle \Leftrightarrow x - 1 \le 9\]\[\displaystyle \Leftrightarrow x \le 10\]
Kết hợp điều kiện ta được \[\displaystyle 1 < x \le 10\].
LG b
\[\displaystyle {\log _3}[x - 3] + {\log _3}[x - 5] < 1\]
Phương pháp giải:
Biến đổi bất phương trình dạng cơ bản và sử dụng so sánh logarit:
+ Nếu \[\displaystyle 0 < a < 1\] thì \[\displaystyle {\log _a}f\left[ x \right] > {\log _a}g\left[ x \right]\] \[\displaystyle \Leftrightarrow f\left[ x \right] < g\left[ x \right]\].
+ Nếu \[\displaystyle a > 1\] thì \[\displaystyle {\log _a}f\left[ x \right] > {\log _a}g\left[ x \right]\] \[\displaystyle \Leftrightarrow f\left[ x \right] > g\left[ x \right]\].
Lời giải chi tiết:
Điều kiện: \[\displaystyle \left\{ \begin{array}{l}x - 3 > 0\\x - 5 > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > 3\\x > 5\end{array} \right. \Leftrightarrow x > 5\].
Khi đó bpt\[\displaystyle \Leftrightarrow {\log _3}{\rm{[}}[x - 3][x - 5]{\rm{]}} < {\log _3}3\] \[\displaystyle \Leftrightarrow \left[ {x - 3} \right]\left[ {x - 5} \right] < 3\] \[\displaystyle \Leftrightarrow {x^2} - 8x + 15 < 3\]
\[\displaystyle \Leftrightarrow {x^2} - 8x + 12 < 0\] \[\displaystyle \Leftrightarrow 2 < x < 6\].
Kết hợp điều kiện ta được \[\displaystyle 5 < x < 6\].
LG c
\[\displaystyle {\log _{\frac{1}{2}}}\frac{{2{x^2} + 3}}{{x - 7}} < 0\]
Phương pháp giải:
Biến đổi bất phương trình dạng cơ bản và sử dụng so sánh logarit:
+ Nếu \[\displaystyle 0 < a < 1\] thì \[\displaystyle {\log _a}f\left[ x \right] > {\log _a}g\left[ x \right]\] \[\displaystyle \Leftrightarrow f\left[ x \right] < g\left[ x \right]\].
+ Nếu \[\displaystyle a > 1\] thì \[\displaystyle {\log _a}f\left[ x \right] > {\log _a}g\left[ x \right]\] \[\displaystyle \Leftrightarrow f\left[ x \right] > g\left[ x \right]\].
Lời giải chi tiết:
Điều kiện: \[\displaystyle \frac{{2{x^2} + 3}}{{x - 7}} > 0\] \[\displaystyle \Leftrightarrow x - 7 > 0\][vì \[2x^2+3>0,\forall x\in R\]]
\[ \Leftrightarrow x > 7\].
Khi đó bpt\[\displaystyle \Leftrightarrow \frac{{2{x^2} + 3}}{{x - 7}} > {\left[ {\frac{1}{2}} \right]^0} = 1\] \[\displaystyle \Leftrightarrow 2{x^2} + 3 > x - 7\] [vì \[x-7 > 0,\forall x>7\]]
\[\displaystyle \Leftrightarrow 2{x^2} - x + 10 > 0\]
[luôn đúng vì \[a=2>0\] và \[\Delta = {1^2} - 4.2.10 = - 79 < 0\]].
Vậy bất phương trình có nghiệm \[\displaystyle x > 7\].
LG d
\[\displaystyle {\log _{\frac{1}{3}}}{\log _2}{x^2} > 0\]
Phương pháp giải:
Biến đổi bất phương trình dạng cơ bản và sử dụng so sánh logarit:
+ Nếu \[\displaystyle 0 < a < 1\] thì \[\displaystyle {\log _a}f\left[ x \right] > {\log _a}g\left[ x \right]\] \[\displaystyle \Leftrightarrow f\left[ x \right] < g\left[ x \right]\].
+ Nếu \[\displaystyle a > 1\] thì \[\displaystyle {\log _a}f\left[ x \right] > {\log _a}g\left[ x \right]\] \[\displaystyle \Leftrightarrow f\left[ x \right] > g\left[ x \right]\].
Lời giải chi tiết:
Điều kiện: \[\displaystyle \left\{ \begin{array}{l}{x^2} > 0\\{\log _2}{x^2} > 0\end{array} \right.\] \[\displaystyle \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne 0\\{x^2} > {2^0} = 1\end{array} \right.\] \[\displaystyle \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne 0\\\left[ \begin{array}{l}x > 1\\x < - 1\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x > 1\\x < - 1\end{array} \right.\]
Khi đó bpt\[\displaystyle \Leftrightarrow {\log _{\frac{1}{3}}}{\log _2}{x^2} > {\log _{\frac{1}{3}}}1\] \[\displaystyle \Leftrightarrow {\log _2}{x^2} < 1 \Leftrightarrow {x^2} < 2\] \[\displaystyle \Leftrightarrow - \sqrt 2 < x < \sqrt 2 \]
Kết hợp điều kiện ta được \[\displaystyle \left[ \begin{array}{l}1 < x < \sqrt 2 \\ - \sqrt 2 < x < - 1\end{array} \right.\].
LG e
\[\displaystyle \frac{1}{{5 - \log x}} + \frac{2}{{1 + \log x}} < 1\]
Phương pháp giải:
- Đặt ẩn phụ \[\displaystyle t = \log x\], biến đổi bất phương trình về ẩn \[\displaystyle t\].
- Giải bất phương trình và kết luận.
Lời giải chi tiết:
Điều kiện: \[\displaystyle \left\{ \begin{array}{l}x > 0\\\log x \ne 5\\\log x \ne - 1\end{array} \right.\]
\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x > 0\\
x \ne {10^5}\\
x \ne {10^{ - 1}}
\end{array} \right.\]
Đặt \[\displaystyle t = \log x\] với điều kiện \[\displaystyle t \ne 5,t \ne - 1\] ta có:
\[\begin{array}{l}
\frac{1}{{5 - t}} + \frac{2}{{1 + t}} - 1 < 0\\
\Leftrightarrow \frac{{1 + t + 2\left[ {5 - t} \right] - \left[ {5 - t} \right]\left[ {1 + t} \right]}}{{\left[ {5 - t} \right]\left[ {1 + t} \right]}} < 0\\
\Leftrightarrow \frac{{1 + t + 10 - 2t - 5 - 4t + {t^2}}}{{\left[ {5 - t} \right]\left[ {1 + t} \right]}} < 0\\
\Leftrightarrow \frac{{{t^2} - 5t + 6}}{{\left[ {5 - t} \right]\left[ {1 + t} \right]}} < 0\\
\Leftrightarrow \frac{{\left[ {t - 2} \right]\left[ {t - 3} \right]}}{{\left[ {5 - t} \right]\left[ {1 + t} \right]}} < 0
\end{array}\]
Xét dấu VT ta được: \[\displaystyle \left[ \begin{array}{l}t < - 1\\2 < t < 3\\t > 5\end{array} \right.\]
TH1: \[\displaystyle t < - 1\] suy ra \[\displaystyle \log x < - 1 \Leftrightarrow x < \frac{1}{{10}}\].
TH2: \[\displaystyle 2 < t < 3\] suy ra \[\displaystyle 2 < \log x < 3 \Leftrightarrow 100 < x < 1000\].
TH3: \[\displaystyle t > 5\] suy ra \[\displaystyle \log x > 5 \Leftrightarrow x > {10^5}\].
Kết hợp với điều kiện ta được \[\displaystyle 0 < x < \frac{1}{{10}}\] hoặc \[\displaystyle 100 < x < 1000\] hoặc \[\displaystyle x > 100000\].
LG g
\[\displaystyle 4{\log _4}x - 33{\log _x}4 \le 1\]
Phương pháp giải:
- Đặt ẩn phụ \[\displaystyle t = {\log _4}x\], biến đổi bất phương trình về ẩn \[\displaystyle t\].
- Giải bất phương trình và suy ra nghiệm.
Lời giải chi tiết:
Điều kiện \[\displaystyle x > 0,x \ne 1\].
Đặt \[\displaystyle t = {\log _4}x\Rightarrow x = {4^t}\], ta có:
\[\begin{array}{l}
4t - 33{\log _{{4^t}}}4 \le 1\\
\Leftrightarrow 4t - \frac{{33}}{t}{\log _4}4 \le 1\\
\Leftrightarrow 4t - \frac{{33}}{t} \le 1
\end{array}\]
\[\displaystyle \Leftrightarrow \frac{{4{t^2} - t - 33}}{t} \le 0\]\[\displaystyle \Leftrightarrow \frac{{[4t + 11][t - 3]}}{t} \le 0\] \[\displaystyle \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t \le - \frac{{11}}{4}\\0 < t \le 3\end{array} \right.\]
\[\displaystyle \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}{\log _4}x \le - \frac{{11}}{4}\\0 < {\log _4}x \le 3\end{array} \right.\] \[\displaystyle \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}0 < x \le {4^{ - \frac{{11}}{4}}}\\1 < x \le 64\end{array} \right.\]