Công thức tính chiều cao khối chóp

Các khối chóp đặc biệt

Hình chóp tứ diện đều

Hình chóp tứ diện đều là hình chóp có tất cả các cạnh bằng nhau, tất cả các mặt đều là các tam giác đều. Trong đó, O là trọng tâm của tam giác đáy và AO vuông góc với (BCD).

Hình chóp tứ giác đều

Hình chóp tứ giác đều là hình chóp có tất cả các cạnh bên bằng nhau, đa giác đáy là hình vuông tâm O, SO vuông góc với mặt đáy (ABCD).

Công thức tính chu vi hình chóp

Chu vi hình chóp bằng tổng chu vi mặt đáy và các mặt bên (áp dụng cho hình chóp tam giác, hình chóp tứ giác).

Công thức:

P = Pđáy + Pcác mặt bên

Trong đó:

Pđáy là chu vi mặt đáy

Pcác mặt bên là chu vi các mặt bên

Công thức tính thể tích khối chóp

* Tỉ số thể tích hai khối chóp tam giác

Nếu A′,B′,C′ là ba điểm lần lượt nằm trên các cạnh SA,SB,SC của hình chóp tam giác S.ABC. Khi đó:

Một số dạng toán thường gặp

Phương pháp chung để tính thể tích khối chóp là tính diện tích đáy, tính chiều cao và tính thể tích theo công thức:

Dưới đây là một số khối chóp đặc biệt thường gặp:

Dạng 1: Tính thể tích khối chóp có cạnh bên vuông góc với đáy

Dạng 2: Tính thể tích khối chóp đều

Dạng 3: Tính thể tích khối chóp có mặt bên vuông góc với đáy

Dạng 4: Tính tỉ lệ thể tích các khối chóp.

Phương pháp:

- Bước 1: Chia các khối chóp cần tính tỉ lệ thể tích thành các khối chóp tam giác tương ứng với nhau.

- Bước 2: Áp dụng công thức tính tỉ số thể tích các khối chóp

6. Một số công thức giải nhanh thể tích khối chóp

Ôn tập lý thuyết thể tích khối chóp lớp 12

Thể tích của một vật là lượng không gian mà vật ấy chiếm. Thể tích thường có đơn vị đo là lập phương của khoảng cách.

Trong chương trình học, thể tích khối chóp được tính theo công thức: $V= \frac{1}{3}\frac{1}{3}.S.h$$ với S là diện tích đáy, h là chiều cao.

Ngoài ra, để phục vụ cho các bài tập tính tỉ số thể tích hai khối chóp tam giác thường xuất hiện trong các bài toán ôn tập thể tích khối chóp lớp 12, ta có thêm công thức:

Nếu A’, B’, C’ là ba điểm lần lượt nằm trên các cạnh SA, SB, SC của hình chóp tam giác S.ABC thì khi đó:

Các công thức tính thể tích khối chóp dễ hiểu nhất

Nhìn chung, có rất nhiều các phương pháp và công thức dùng để tính được thể tích khối chóp, đồng thời áp dụng thể tích khối chóp nâng cao. Tuy nhiên, trong bài ôn tập này, VUIHOC chỉ tổng hợp 12 công thức tính thể tích khối chóp thường gặp và dễ sử dụng nhất để giải các bài toán hình học có liên quan đến thể tích khối chóp.

2.1. Cách tính thể tích khối chóp có mặt bên vuông góc đáy

Để nhận diện các bài toán thể tích hình chóp áp dụng công thức này, ta xét đặc điểm của hình chóp mà đề bài cho. Nếu hình chóp có hai mặt bên cùng vuông góc với đáy và chiều cao của khối chóp chính là giao tuyến của hai mặt đó, ta áp dụng phương pháp này.

Để xác định đường cao của hình chóp, ta vận dụng định lý sau đây:

Ta cùng xét ví dụ minh họa sau đây để hiểu hơn về cách tính thể tích khối chóp này.

Ví dụ: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, BA = 3a, BC = 4a; mặt phẳng (SBC) vuông góc với mặt phẳng (ABC). Biết SB=2a√3 và ∠(SBC)=30º, tính thể tích khối chóp S.ABC.

2.2. Phương pháp tính thể tích khối chóp có cạnh bên vuông góc đáy

Phương pháp giải:

Ta có công thức thể tích khối chóp là $V=\frac{1}{3}\frac{1}{3}S.h$ với S là diện tích đáy, h là chiều cao. Khối chóp có cạnh bên vuông góc với đáy suy ra cạnh bên vuông góc với đáy là đường cao của chóp hay h=độ dài cạnh bên vuông góc với đáy.

Ví dụ minh họa: Cho khối chóp S.ABC có SA vuông góc với đáy, SA= 4; AB= 6; BC= 10 và CA= 8. Tính thể tích khối chóp S.ABC.

A. V= 40

B. V= 96

C. V= 32

D. V= 64

Giải:

2.3. Thể tích khối chóp s abcd có đáy là hình vuông

Đối với khối chóp abcd có đáy là hình vuông, ta có ví dụ minh họa sau đây:

Ví dụ: Cho khối chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với đấy và SC tạo với mp (SAB) một góc 30 độ. Tính thể tích khối chóp?

Giải:

2.4. Tìm thể tích khối chóp lập phương

Đây là dạng khối chóp đặc biệt vì các mặt của khối chóp đều là hình vuông (lập phương). Vì vậy, phương pháp tính thể tích khối chóp lập phương rất đơn giản: $V=a.a.a=a^{3}a^{3}$ (do các cạnh của hình lập phương đều có độ dài bằng nhau, một cách khác của công thức thể tích là s3, trong đó s là độ dài cạnh của hình lập phương)

Ví dụ minh họa:

Tính thể tích khối lập phương có độ dài đường chéo là 27 cm.

Giải:

2.5. Thể tích khối chóp lăng trụ tam giác đều

Nếu một hình học có mặt bên là hình bình hành, hai mặt đáy song song và bằng nhau thì đa giác đó là hình lăng trụ. Một hình lăng trụ có mặt đáy là một tam giác đều thì đó là hình lăng trụ tam giác đều.

Ta cùng xét ví dụ sau để tính thể tích khối chóp lăng trụ tam giác đều:

Ví dụ: Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng a = 2 cm và chiều cao là h = 3 cm. Hãy tính thể tích hình lăng trụ này.

Giải:

Vì đáy là tam giác đều cạnh a nên diện tích

$S_{ABC}=a^{2}.\frac{\sqrt{3}}{4}=2^{2}.\frac{\sqrt{3}}{4}=\sqrt{3}(m^{2})S_{ABC}=a^{2}.\frac{\sqrt{3}}{4}=2^{2}.\frac{\sqrt{3}}{4}=\sqrt{3}(m^{2})$

Khi này, thể tích là $V=S_{ABC}.h=\sqrt{3}.3=3\int \sqrt{3}(m^{3})S_{ABC}.h=\sqrt{3}.3=3\int \sqrt{3}(m^{3})$

2.6. Cách tìm thể tích khối chóp lục giác đều

Cùng VUIHOC xét ví dụ minh họa sau đây về thể tích khối chóp lục giác đều.

Ví dụ: Một khối chóp lục giác đều, góc giữa cạnh bên và mặt đáy là 30 độ, cạnh đáy a. Tính thể tích V của khối chóp?

Giải:

2.7. Công thức tính thể tích khối chóp lăng trụ

Công thức tính thể tích lăng trụ: Khối lăng trụ có diện tích đáy B và chiều cao h có thể tích được tính theo công thức: V=B.h

2.8. Tính thể tích khối chóp khi biết 3 cạnh bên

Đây là dạng đặc biệt trong các bài toán tính thể tích khối chóp. Khi gặp trường hợp này, các em sử dụng công thức tổng quát sau:

Ta có BC=a, CA=b, AB=c, AD=d, BD=e, CD=f thuộc khối tứ diện ABCD, công thức tính thể tích của tứ diện 6 cạnh như sau:

V=12M+N+P+Q, trong đó:

Ví dụ minh họa: Cho khối tứ diện ABCD có AB=CD=8, AD=BC=5 và AC=BD=7. Thể tích khối tứ diện đã cho bằng bao nhiêu?

2.9. Tìm thể tích khối chóp các cạnh đôi một vuông góc

Ta xét ví dụ minh họa sau đây để hiểu hơn cách tính thể tích khối chóp trong trường hợp khối chóp có các cạnh đôi một vuông góc như sau:

Cho tứ diện SABC có các cạnh SA,SB,SC đôi một vuông góc với nhau. Biết SA=3a, SB=4a, SC=5a. Tính theo a thể tích V của khối tứ diện SABC.

Giải:

2.10. Thể tích khối chóp tròn xoay

Ta có thể dễ thấy, thể tích khối chóp tròn xoay tương tự như công thức tính thể tích khối chóp:

$V=\frac{1}{3}Bh=\frac{1}{3}\pi r^{2}h\frac{1}{3}Bh=\frac{1}{3}\pi r^{2}h$

Trong công thức trên B là diện tích đáy hình nón, r là bán kính đáy hình nón, h là chiều cao của hình nón.

Cùng VUIHOC xét ví dụ minh họa sau đây tính thể tích khối chóp tròn xoay:

2.11. Tính thể tích của khối chóp tam giác đều

Đây là dạng toán đặc biệt, thường xuất hiện trong các câu hỏi kiếm điểm 8+. Các em cùng xét ví dụ minh họa sau đây để hiểu cách giải dạng bài tính thể tích khối chóp này:

Tính thể tích V của khối chóp tam giác đều SABC biết chiều cao hình chóp bằng h, góc SBA=a

Giải:

2.12. Công thức tính thể tích khối chóp tứ giác đều cạnh đáy bằng a

Cùng VUIHOC giải bài tập tính thể tích khối chóp tứ giác đều cạnh đáy bằng a với bài tập minh họa sau:

Tính thể tích khối chóp tứ giác đều V có tất cả các cạnh bằng a.

Giải:

Công thức tính chiều cao khối chóp