Đề bài
Cho đa thức: \[M[x] = 5{{\rm{x}}^3} + 2{{\rm{x}}^4} - {x^2} + 3{{\rm{x}}^2} - {x^3}\]\[ - {x^4} + 1 - 4{{\rm{x}}^3}\]
a] Sắp xếp các hạng tử của đa thức trên theo lũy thừa giảm của biến.
b] Tính \[M[1]\] và \[M[-1]\]
c] Chứng tỏ rằng đa thức trên không có nghiệm.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
a] Thu gọn đa thức \[M[x]\] sau đó sắp xếp cáchạng tử của đa thức trên theo lũy thừa giảm của biến.
b] Thay giá trị tương ứng của \[x\] vào đa thức sau khi đã rút gọn rồi tính giá trị của đa thức đó.
c] Đa thức không có nghiệm khi và chỉ khi đa thức đó luôn khác \[0\] với mọi \[x\].
Lời giải chi tiết
a] Sắp xếp các hạng tử của đa thức theo lũy thừa giảm của biến
\[M\left[ x \right] = 5{x^3} + 2{x^4} - {x^2} + 3{x^2}\] \[ - {x^3} - {x^4} + 1 - 4{x^3}\]
\[ = \left[ {2{x^4} - {x^4}} \right] + \left[ {5{x^3} - {x^3} - 4{x^3}} \right]\] \[ + \left[ { - {x^2} + 3{x^2}} \right] + 1\]
\[ = {x^4} + 2{x^2} + 1\]
b] Ta có \[M\left[ 1 \right] = {1^4} + {2.1^2} + 1 = 4\];
\[M\left[ { - 1} \right] = {\left[ { - 1} \right]^4} + 2.{\left[ { - 1} \right]^2} + 1 = 4\]
c] Ta có \[{x^4} \ge 0;\] \[{x^2} \ge 0\] \[ \Rightarrow {x^4} + {x^2} + 1 \ge 1\] do đó đa thức \[M\left[ x \right]\] không có nghiệm.