Đề bài
Tam giác ABC đều nội tiếp trong đường tròn [O], D là một điểm trên cung BC. Các đường thẳng AB và CD cắt nhau tại E, AC và BD cắt nhau tại F. Chứng minh rằng: \[AB^2= BE.CF\].
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng:
+Số đogóc có đỉnh bên ngoài đường tròn
+Số đo góc nội tiếp bằng nửa cung bị chắn
+Tam giác đồng dạng
Lời giải chi tiết
Ta có :
\[\widehat {BED} =\dfrac {{sd\overparen{AC} - sd\overparen{BD}}}{ 2} \]
\[\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,= \dfrac{{sd\overparen{BC} - sd\overparen{BD}} }{ 2}\] [vì \[\overparen{AC} =\overparen{BC}\]]
\[\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,=\dfrac{{sd\overparen{DC}} }{ 2}\] [ góc có đỉnh nằm ngoài đường tròn]
\[\widehat {CBF} = \dfrac{{sd\overparen{DC}}}{2}\] [ góc nội tiếp]
\[\Rightarrow \widehat {BED} = \widehat {CBF}\]
Tương tự ta chứng minh được \[\widehat {CFD} = \widehat {BCE}\].
Vậy \[BCE\] và \[CFB\] đồng dạng [g.g]
\[\Rightarrow \dfrac{{BC} }{ {CF}} =\dfrac {{BE}}{ {BC}}\]
\[ \Rightarrow BC^2= BE.CF\] mà \[BC = AB\] [gt]
\[ \Rightarrow AB^2= BE.CF.\]