Bài 1 trang 87 sgk đại số 10
Tìm các giá trị \[x\] thỏa mãn điều kiện của mỗi bất phương trình sau:
a]\[\frac{1}{x}< 1-\frac{1}{x+1};\]
b] \[\frac{1}{x^{2}-4}< \frac{2x}{x^{2}-4x+3};\]
c] \[2|x| - 1 + \sqrt[3]{x-1} 3x + \frac{1}{x+4}.\]
Giải
a] ĐKXĐ: \[D = \left\{ {x \in\mathbb R|x \ne 0,x + 1 \ne 0} \right\} =\mathbb R\backslash \left\{ {0; - 1} \right\}\]
b] ĐKXĐ: \[D = \left\{ {x \in\mathbb R|{x^2} - 4 \ne 0,{x^2} - 4x + 3 \ne 0} \right\} =\mathbb R\backslash \left\{ { \pm 2;1;3} \right\}\]
c] ĐKXĐ: \[D =\mathbb R\backslash {\rm{\{ }} - 1\} \]
d] ĐKXĐ: \[D = \left\{ {x \in \mathbb R|x + 4 \ne 0,1 - x \ge 0} \right\} = [ - \infty ; - 4] \cup [ - 4;1]\]
Bài 2 trang 88 sgk đại số 10
Chứng minh các bất phương trình sau vô nghiệm.
a] \[x^2+ \sqrt{x+8}\leq -3;\]
b]\[\sqrt{1+2[x-3]^{2}}+\sqrt{5-4x+x^{2}}< \frac{3}{2};\]
c]\[\sqrt{1+x^{2}}-\sqrt{7+x^{2}}> 1.\]
Giải
a]\[x^2+ \sqrt{x+8}\leq -3\]
Gọi \[D\] là điều kiện xác định của biểu thức vế trái \[D = [- 8; +]\]. Vế trái dương với mọi \[x D\] trong khi vế phải là số âm. Mệnh đề sai với mọi \[x D\]. Vậy bất phương trình vô nghiệm.
b]\[\sqrt{1+2[x-3]^{2}}+\sqrt{5-4x+x^{2}}< \frac{3}{2}\]
Vế trái có\[\sqrt{1+2[x-3]^{2}} 1x \mathbb R\],
\[\sqrt{5-4x+x^{2}}=\sqrt{1+[x-2]^{2}} 1x\mathbb R\]
Suy ra: \[\sqrt{1+2[x-3]^{2}}\]+\[\sqrt{5-4x+x^{2}} 2, x\mathbb R\]
Mệnh đề sai \[x\mathbb R\].
Bất phương trình vô nghiệm.
c]\[\sqrt{1+x^{2}}-\sqrt{7+x^{2}}> 1\]
\[\eqalign{
& 1 + {x^2} < 7 + {x^2} \Rightarrow \sqrt {1 + {x^2}} < \sqrt {7 + {x^2}} \cr
& \Rightarrow \sqrt {1 + {x^2}} - \sqrt {7 + {x^2}} < 0 \cr} \]
\[\Rightarrow \sqrt {1 + {x^2}} - \sqrt {7 + {x^2}} > 1\] Vô nghiệm.
Bài 3 trang 88 sgk đại số 10
Giải thích vì sao các cặp bất phương trình sau tương đương?
a] \[- 4x + 1 > 0\] và \[4x - 1 0\] và \[x + 1 + \frac{1}{x^{2}+1}>\frac{1}{x^{2}+1};\]
d]\[\sqrt{x-1} x\] và \[[2x +1]\sqrt{x-1} x[2x + 1]\].
Giải
a] Tương đương. Vì nhân hai vế bất phương trình thứ nhất với \[-1\] và đổi chiều bất phương trình thì được bất phương trình thứ 2.
b] Chuyển vế các hạng tử vế phải sang vế trái ở bất phương trình thứ nhất thì được bất phương trình thứ hai tương đương.
c] Tương đương. Vì cộng hai vế bất phương trình thứ nhất với \[\frac{1}{x^{2}+1} > 0\]với mọi \[x\] ta được bất phương trình thứ 3.
d] Điều kiện xác định bất phương trình thứ nhất: \[D =[1;+\infty]\].
\[2x + 1 > 0 , x D\].
Nhân hai vế bất phương trình thứ nhất với \[[2x + 1] \] ta được phương trình thứ hai. Vậy hai bất phương trình tương đương.
Bài 4 trang 88 sgk đại số 10
Giải các bất phương trình sau
a]\[\frac{3x+1}{2}-\frac{x-2}{3}< \frac{1-2x}{4};\]
b] \[[2x - 1][x + 3] - 3x + 1 [x - 1][x + 3] + x^2 5\].
Giải
a]\[\frac{3x+1}{2}-\frac{x-2}{3}< \frac{1-2x}{4}\]
\[\Leftrightarrow \frac{3x+1}{2}-\frac{x-2}{3}-\frac{1-2x}{4}