Câu 106 trang 23 Sách Bài Tập [SBT] Toán 9 Tập 1
Cho biểu thức
\[A = {{{{\left[ {\sqrt a + \sqrt b } \right]}^2} - 4\sqrt {ab} } \over {\sqrt a - \sqrt b }} - {{a\sqrt b + b\sqrt a } \over {\sqrt {ab} }}.\]
a] Tìm điều kiện để A có nghĩa.
b] Khi A có nghĩa , chứng tỏ giá trị của A không phụ thuộc vào a.
Gợi ý làm bài:
a] Biểu thức A có nghĩa khi và chỉ khi :
\[\left\{ \matrix{
a \ge 0 \hfill \cr
b \ge 0 \hfill \cr
\sqrt a - \sqrt b \ne 0 \hfill \cr
\sqrt {ab} \ne 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
a \ge 0 \hfill \cr
b \ge 0 \hfill \cr
a \ne b \hfill \cr
ab \ne 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
a \ge 0 \hfill \cr
b \ge 0 \hfill \cr
a \ne b \hfill \cr} \right.\]
Vậy \[a \ge 0,b \ge 0\]và \[a \ne b\]thì A có nghĩa.
b] Ta có :
\[\eqalign{
& A = {{{{\left[ {\sqrt a + \sqrt b } \right]}^2} - 4\sqrt {ab} } \over {\sqrt a - \sqrt b }} - {{a\sqrt b + b\sqrt a } \over {\sqrt {ab} }} \cr
& = {{\sqrt {{a^2}} + 2\sqrt {ab} + \sqrt {{b^2}} - 4\sqrt {ab} } \over {\sqrt a - \sqrt b }} - {{\sqrt {{a^2}b} + \sqrt {a{b^2}} } \over {\sqrt {ab} }} \cr
& = {{\sqrt {{a^2}} - 2\sqrt {ab} + \sqrt {{b^2}} } \over {\sqrt a - \sqrt b }} - {{\sqrt {ab} [\sqrt a + \sqrt b ]} \over {\sqrt {ab} }} \cr
& = {{{{\left[ {\sqrt a - \sqrt b } \right]}^2}} \over {\sqrt a - \sqrt b }} - \left[ {\sqrt a + \sqrt b } \right] \cr
& = \sqrt a - \sqrt b - \sqrt a - \sqrt b = - 2\sqrt b \cr}\]
Vậy giá trị của A không phu thuộc vào a.
Câu 107 trang 23 Sách Bài Tập [SBT] Toán 9 Tập 1
Cho biểu thức
\[B = \left[ {{{2x + 1} \over {\sqrt {{x^3}} - 1}} - {{\sqrt x } \over {x + \sqrt x + 1}}} \right]\left[ {{{1 + \sqrt {{x^3}} } \over {1 + \sqrt x }} - \sqrt x } \right]\] với \[x \ge 0\]và \[x \ne 1\].
a] Rút gọn B ;
b] Tìm x để B = 3.
Gợi ý làm bài:
a] Ta có:
\[\eqalign{
& B = \left[ {{{2x + 1} \over {{{\sqrt x }^3} - 1}} - {{\sqrt x } \over {x + \sqrt x + 1}}} \right]\left[ {{{1 + \sqrt {{x^3}} } \over {1 + \sqrt x }} - \sqrt x } \right] \cr
& = \left[ {{{2x + 1} \over {\left[ {\sqrt x - 1} \right]\left[ {x + \sqrt x + 1} \right]}} - {{\sqrt x } \over {x + \sqrt x + 1}}} \right]\left[ {{{\left[ {1 + \sqrt x } \right]\left[ {1 - \sqrt x + \sqrt {{x^2}} } \right]} \over {1 + \sqrt x }} - \sqrt x } \right] \cr
& = {{2x + 1 - \sqrt x \left[ {\sqrt x - 1} \right]} \over {\left[ {\sqrt x - 1} \right]\left[ {x + \sqrt x + 1} \right]}}.\left[ {1 - \sqrt x + \sqrt {{x^2}} - \sqrt x } \right] \cr
& = {{2x + 1 - x + \sqrt x } \over {\left[ {\sqrt x - 1} \right]\left[ {x + \sqrt x + 1} \right]}}.{\left[ {\sqrt x - 1} \right]^2} \cr
& = {{\left[ {x + \sqrt x + 1} \right]{{\left[ {\sqrt x - 1} \right]}^2}} \over {\left[ {\sqrt x - 1} \right]\left[ {x + \sqrt x + 1} \right]}} \cr} \]
\[ = \sqrt x - 1\][với \[x \ge 0\]và \[x \ne 1\]
b] Với B = 3 ta có: \[\sqrt x - 1 = 3 \Leftrightarrow \sqrt x = 4 \Leftrightarrow x = 16\]
Câu 108 trang 23 Sách Bài Tập [SBT] Toán 9 Tập 1
Cho biểu thức:
\[C = \left[ {{{\sqrt x } \over {3 + \sqrt x }} + {{x + 9} \over {9 - x}}} \right]:\left[ {{{3\sqrt x + 1} \over {x - 3\sqrt x }} - {1 \over {\sqrt x }}} \right]\]với \[x > 0\]và \[x \ne 9\]
a] Rút gọn C
b] Tìm x sao cho C < -1.
Gợi ý làm bài:
a] Ta có:
\[\eqalign{
& C = \left[ {{{\sqrt x } \over {3 + \sqrt x }} + {{x + 9} \over {9 - x}}} \right]:\left[ {{{3\sqrt x + 1} \over {x - 3\sqrt x }} - {1 \over {\sqrt x }}} \right] \cr
& = \left[ {{{\sqrt x } \over {3 + \sqrt x }} + {{x + 9} \over {\left[ {3 + \sqrt x } \right]\left[ {3 - \sqrt x } \right]}}} \right]:\left[ {{{3\sqrt x + 1} \over {\sqrt x \left[ {\sqrt x - 3} \right]}} - {1 \over {\sqrt x }}} \right] \cr
& = {{\sqrt x \left[ {3 - \sqrt x } \right] + x + 9} \over {\left[ {3 + \sqrt x } \right]\left[ {3 - \sqrt x } \right]}}:{{3\sqrt x + 1 - \left[ {\sqrt x - 3} \right]} \over {\sqrt x \left[ {\sqrt x - 3} \right]}} \cr
& = {{3\sqrt x - x + x + 9} \over {\left[ {3 + \sqrt x } \right]\left[ {3 - \sqrt x } \right]}}:{{2\sqrt x + 4} \over {\sqrt x \left[ {\sqrt x - 3} \right]}} \cr
& = {{3\sqrt x + 9} \over {\left[ {3 + \sqrt x } \right]\left[ {3 - \sqrt x } \right]}}.{{\sqrt x \left[ {\sqrt x - 3} \right]} \over {2\sqrt x + 4}} \cr
& = {{3\left[ {\sqrt x + 3} \right]} \over {\left[ {3 + \sqrt x } \right]\left[ {3 - \sqrt x } \right]}}.{{ - \sqrt x \left[ {3 - \sqrt x } \right]} \over {2\sqrt x + 4}} \cr} \]
\[= {{ - 3\sqrt x } \over {2\sqrt x + 4}}\][với \[x > 0\]và \[x \ne 9\]
b] Với \[C < - 1\]ta có:
\[{{ - 3\sqrt x } \over {2\sqrt x + 4}} < - 1 \Leftrightarrow {{ - 3\sqrt x } \over {2\sqrt x + 4}} + 1 < 0\]
\[\Leftrightarrow {{ - 3\sqrt x + 2\sqrt x + 4} \over {2\sqrt x + 4}} < 0 \Leftrightarrow {{4 - \sqrt x } \over {2\sqrt x + 4}} < 0\]
Vì \[x > 0\]nên \[\sqrt x > 0\]
Khi đó: \[2\sqrt x + 4 > 0\]
Suy ra: \[4 - \sqrt x < 0 \Leftrightarrow \sqrt x > 4 \Leftrightarrow x > 16\]
Vậy với \[x > 16\]thì C < -1.