Bài 27 trang 66 SGK Hình học 10 nâng cao
Bài 27. Chứng minh rằng trong một hình bình hành, tổng bình phương các cạnh bằng tổng bình phương của hai đường chéo.
Hướng dẫn trả lời
Áp dụng công thức tính trung tuyến \[AO\] trong tam giác \[ABD\], ta có
\[\eqalign{
& A{O^2} = {{A{B^2} + A{D^2}} \over 2} - {{B{D^2}} \over 4}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \cr
& \Rightarrow \,\,\,4A{O^2} = 2[A{B^2} + A{D^2}] - B{D^2}\,\, \cr
& \Rightarrow \,\,\,A{C^2} + B{D^2} = 2[A{B^2} + A{D^2}] = A{B^2} + A{D^2} + D{C^2} + B{C^2} \cr} \]
Bài 28 trang 66 SGK Hình học 10 nâng cao
Bài 28. Chứng minh rằng tam giác \[ABC\] vuông ở \[A\] khi và chỉ khi \[5m_a^2 = m_b^2 + m_c^2\].
Hướng dẫn trả lời
Ta có \[5m_a^2 = m_b^2 + m_c^2\]
\[\eqalign{
& \Leftrightarrow \,\,\,5\left[ {{{{b^2} + {c^2}} \over 2} - {{{a^2}} \over 4}} \right] = {{{a^2} + {c^2}} \over 2} - {{{b^2}} \over 4} + {{{a^2} + {b^2}} \over 2} - {{{c^2}} \over 4} \cr
& \Leftrightarrow \,\,\,5\left[ {2{b^2} + 2{c^2} - {a^2}} \right] = 2{a^2} + 2{c^2} - {b^2} + 2{a^2} + 2{b^2} - {c^2} \cr
& \Leftrightarrow \,\,\,{b^2} + {c^2} = {a^2} \cr} \]
\[\Leftrightarrow \] Tam giác \[ABC\] vuông ở \[A\].
Bài 29 trang 66 SGK Hình học 10 nâng cao
Bài 29. Tam giác \[ABC\] có \[b = 6,12\,;\,c = 5,35\,;\,\widehat A = {84^0}\]. Tính diện tích tam giác đó.
Hướng dẫn trả lời
Ta có \[{S_{ABC}} = {1 \over 2}.b.c.\sin A = {1 \over 2}.[6,12]\,.[5,35]\,.\sin {84^0} \approx 16,3\].
Bài 30 trang 66 SGK Hình học 10 nâng cao
Bài 30. Cho tứ giác \[ABCD\]. Gọi \[M, N\] lần lượt là trung điểm của \[AC\] và \[BD\]. Chứng minh rằng \[A{B^2} + B{C^2} + C{D^2} + D{A^2} = A{C^2} + B{D^2} + 4M{N^2}\].
Hướng dẫn trả lời
Áp dụng công thức tính trung tuyến, \[MN\] là trung tuyến của tam giác \[BMD\], ta có
\[M{N^2} = {{B{M^2} + D{M^2}} \over 2} - {{B{D^2}} \over 4}\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,4M{N^2} = 2[B{M^2} + D{M^2}] - B{D^2}\,\,\,[1]\]
Tương tự, \[BM, DM\] lần lượt là trung tuyến của tam giác \[ABC, ADC\] nên
\[\eqalign{
& 4B{M^2} = 2[A{B^2} + B{C^2}] - A{C^2}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,[2] \cr
& 4D{M^2} = 2[D{A^2} + C{D^2}] - A{C^2}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,[3] \cr} \]
Từ [2], [3] suy ra
\[2[B{M^2} + D{M^2}] = A{B^2}\, + B{C^2} + C{D^2} + D{A^2} - A{C^2}\,\,[4]\]
Thay [4] vào [1], ta có
\[\eqalign{
& \,\,\,\,\,\,\,\,4M{N^2} = A{B^2} + B{C^2} + C{D^2} + D{A^2} - A{C^2} - B{D^2} \cr
& \Rightarrow \,\,\,A{B^2} + B{C^2} + C{D^2} + D{A^2} = A{C^2} + B{D^2} + 4M{N^2} \cr} \]