Bài 5.21 trang 223 sách bài tập [SBT] - Giải tích 12
Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường sau:
a] y = |x2 1| và y = 5 + |x|
b] 2y = x2+ x 6 và 2y = -x2+ 3x + 6
c] \[y = {1 \over x} + 1,x = 1\]và tiếp tuyến với đường \[y = {1 \over x} + 1\] tại điểm \[[2;{3 \over 2}]\]
Hướng dẫn làm bài:
a] Hai hàm số y = |x2 1| và y = 5 + |x| đều là hàm số chẵn. Miền cần tính diện tích được thể hiện ở hình 97. Do tính đối xứng qua trục tung, ta có:
\[S = 2\int\limits_0^3 {[5 + |x| - |{x^2} - 1|]dx}\]
\[ = 2\left[ {\int\limits_0^1 {[5 + x - 1 + {x^2}]dx + \int\limits_1^3 {[5 + x - {x^2} + 1]dx} } } \right]\]
\[ = 2\left[ {[{1 \over 3}{x^3} + {1 \over 2}{x^2} + 4x]\left| {\matrix{1 \cr 0 \cr} + [ - {1 \over 3}{x^3} + {1 \over 2}{x^2} + 6x]\left| {\matrix{3 \cr 1 \cr} } \right.} \right.} \right]\]
\[= 24{1 \over 3}\] [đơn vị diện tích]
b] Miền cần tính diện tích được thể hiện bởi Hình 98 [học sinh tự làm]
Như vậy, với mọi\[x \in [ - 2;3]\] đồ thị của hàm số \[y = - {1 \over 2}{x^2} + {3 \over 2}x + 3\]nằm phía trên đồ thị của hàm số \[y = {1 \over 2}{x^2} + {1 \over 2}x - 3\].
Vậy ta có:
\[S = \int\limits_{ - 2}^3 {\left[ {[ - {1 \over 2}{x^2} + {3 \over 2}x + 3] - [{1 \over 2}{x^2} + {1 \over 2}x - 3]} \right]} dx\]
\[= \int\limits_{ - 2}^3 {[ - {x^2} + x + 6]} dx = 20{5 \over 6}\] [đơn vị diện tích]
c] Miền cần tính diện tích được thể hiện trên hình:
\[S = \int\limits_1^2 {\left[ {{1 \over x} + 1 - [ - {1 \over 4}x + 2]} \right]} dx\]
\[= \int\limits_1^2 {[{1 \over x} + {1 \over 4}x - 1]dx = \ln 2 - {5 \over 8}} \][đơn vị diện tích]
[vì tiếp tuyến với đồ thị của \[y = {1 \over x} + 1\]tại điểm \[[2;{3 \over 2}]\]có phương trình là \[y = f'[2][x - 2] + {3 \over 2} = - {1 \over 4}x + 2\]]
Bài 5.22 trang 223 sách bài tập [SBT] - Giải tích 12
Tính thể tích của vật thể tròn xoay khi quay các hình phẳng giới hạn bởi các đường sau quanh trục Ox:
a] y = x3; y = 1 và x = 3
b] \[y = {2 \over \pi }x;y = \sin x;x \in {\rm{[}}0;{\pi \over 2}{\rm{]}}\]
c] \[y = {x^\alpha },\alpha \in {N^*};y = 0;x = 0\]và x = 1
Hướng dẫn làm bài
a]
Thể tích vật thể tròn xoay sinh ra bởi miền CED quay quanh trục Ox là hiệu của hai thể tích [V1và V2] của hai vật thể tròn xoay tương ứng sinh ra khi miền ACEB và miền ACDB quay quanh trục Ox. Như vậy V = V1 V2, trong đó :
\[{V_1} = \pi \int\limits_1^3 {{x^6}} dx = {1 \over 7}\pi {x^7}\left| {\matrix{3 \cr 1 \cr} } \right. = {\pi \over 7}[{3^7} - 1]\]
\[{V_2} = \pi \int\limits_1^3 {dx = 2\pi }\]
\[\RightarrowV = {V_1} - {V_2} = {\pi \over 7}[{3^7} - 15] = 310{2 \over 7}\pi \][đơn vị thể tích]
b]
Ta có V = V1 V2trong đó
\[{V_1} = \pi \int\limits_0^{{\pi \over 2}} {{{\sin }^2}xdx} = {{{\pi ^2}} \over 4}\]
\[{V_2} = \pi \int\limits_0^{{\pi \over 2}} {{{[{2 \over \pi }x]}^2}dx = {{{\pi ^2}} \over 6}} \]
\[V = {V_1} - {V_2} = {{{\pi ^2}} \over {12}}\][đơn vị thể tích]
c] Hình vẽ
\[V = \pi \int\limits_0^1 {{x^{2\alpha }}dx} = {\pi \over {2\alpha + 1}}\]
Bài 5.23 trang 223 sách bài tập [SBT] - Giải tích 12
Chứng minh rằng:
a] \[i + {i^2} + {i^3} + ... + {i^{99}} + {i^{100}} = 0\]
b] \[{{[\sqrt 2 + i][1 - i][1 + i]} \over i} = 2 - 2\sqrt 2 i\]
Hướng dẫn làm bài
a] Biến đổi vế trái bằng cách nhóm từng bốn số hạng và đặt thừa số chung, ta được
\[i[1 + i + {i^2} + {i^3}] + ... + {i^{97}}[1 + i + {i^2} + {i^3}]\]
\[= [1 + i + {i^2} + {i^3}][i + ... + {i^{97}}] = 0\],
Vì\[1 + i + {i^2} + {i^3} = 1 + i - 1 - i = 0\]
b] Ta có
\[{{[\sqrt 2 + i][1 - i][1 + i]} \over i} \]
\[= {{2[\sqrt 2 + i]i} \over { - 1}}\]
\[= - [2\sqrt 2 i + 2{i^2}] = 2 - 2\sqrt 2 i\]
Bài 5.24 trang 223 sách bài tập [SBT] - Giải tích 12
Tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức z trên mặt phẳng tọa độ thỏa mãn các điều kiện:
a] |z i| = 1
b] |2 + z| < |2 z|
c] \[2 \le |z - 1 + 2i| < 3\]
Hướng dẫn làm bài:
a] Vế trái là khoảng cách từ điểm biểu diễn z dến điểm biểu diễn z0= 0 + i . Vậy tập hợp các điểm thỏa mãn điều kiện đã cho là tất cả các điểm cách điểm [0; 1] một khoảng không đổi bằng 1. Đó là các điểm nằm trên đường tròn bán kính bằng 1 và tâm là điểm [0; 1]
Ta có thể tiến hành như sau:
Cho \[z = x + iy\], ta có \[|z - i{|^2} = |x + [y - 1]i{|^2} = {x^2} + {[y - 1]^2}\]và như vậy ta có:\[{x^2} + {[y - 1]^2} = 1\]
Đây là phương trình đường tròn bán kính bằng 1 và tâm là [0; 1]
b]
Ta có:\[|2 + z{|^2} < |2 - z{|^2}\]
\[\Leftrightarrow|[2 + x] + iy{|^2} < |[2 - x] - iy{|^2}\]
\[\Leftrightarrow{[2 + x]^2} + {y^2} < {[2 - x]^2} + {[ - y]^2}\]
\[\Leftrightarrowx < 0\]
Đó là tập hợp các số phức có phần thực nhỏ hơn 0, tức là nửa trái của mặt phẳng tọa độ không kể trục Oy.
c] Đó là những điểm nằm phía trong hình tròn bán kính bằng 3 và phía ngoài [kể cả biên] hình tròn bán kính bằng 2 có cùng tâm là điểm biểu diễn số phức z0= 1 2i , tức là những điểm nằm trong hình vành khăn kể cả biên trong. Đó là những điểm [x; y] trên mặt phẳng tọa độ thỏa mãn điều kiện:\[4 \le {[x - 1]^2} + {[y + 2]^2} < 9\]