Câu II.1 trang 42 Sách bài tập [SBT] Toán 8 tập 1
[Đề thi học sinh giỏi toán cấp II, Miền Bắc năm 1963]
Rút gọn và tính giá trị của biểu thức sau tại x = -1,76 và \[y = {3 \over {25}}\]
\[P = \left[ {\left[ {{{x - y} \over {2y - x}} - {{{x^2} + {y^2} + y - 2} \over {{x^2} - xy - 2{y^2}}}} \right]:{{4{x^4} + 4{x^2}y + {y^2} - 4} \over {{x^2} + y + xy + x}}} \right]:{{x + 1} \over {2{x^2} + y + 2}}\]
Giải:
Ta có :
\[\eqalign{ & P = \left[ {\left[ {{{x - y} \over {2y - x}} - {{{x^2} + {y^2} + y - 2} \over {{x^2} - xy - 2{y^2}}}} \right]:{{4{x^4} + 4{x^2}y + {y^2} - 4} \over {{x^2} + y + xy + x}}} \right]:{{x + 1} \over {2{x^2} + y + 2}} \cr & = \left[ {\left[ {{{x - y} \over {2y - x}} - {{{x^2} + {y^2} + y - 2} \over {\left[ {x + y} \right]\left[ {x - 2y} \right]}}} \right]:{{{{\left[ {2{x^2} + y} \right]}^2} - 4} \over {\left[ {x + y} \right]\left[ {x + 1} \right]}}} \right].{{2{x^2} + y + 2} \over {x + 1}} \cr & = \left[ {{{\left[ {y - x} \right]\left[ {x + y} \right] - \left[ {{x^2} + {y^2} + y - 2} \right]} \over {\left[ {x + y} \right]\left[ {x - 2y} \right]}}.{{\left[ {x + y} \right]\left[ {x + 1} \right]} \over {\left[ {2{x^2} + y + 2} \right]\left[ {2{x^2} + y - 2} \right]}}} \right].{{2{x^2} + y + 2} \over {x + 1}} \cr & = \left[ {{{{y^2} - {x^2} - {x^2} - {y^2} - y + 2} \over {\left[ {x + y} \right]\left[ {x - 2y} \right]}}.{{\left[ {x + y} \right]\left[ {x + 1} \right]} \over {\left[ {2{x^2} + y + 2} \right]\left[ {2{x^2} + y - 2} \right]}}} \right].{{2{x^2} + y + 2} \over {x + 1}} \cr & = {{ - \left[ {2{x^2} + y - 2} \right]\left[ {x + y} \right]\left[ {x + 1} \right]} \over {\left[ {x + y} \right]\left[ {x - 2y} \right]\left[ {2{x^2} + y + 2} \right]\left[ {2{x^2} + y - 2} \right]}}.{{2{x^2} + y + 2} \over {x + 1}} \cr & = {{ - \left[ {x + 1} \right]} \over {\left[ {x - 2y} \right]\left[ {2{x^2} + y + 2} \right]}}.{{2{x^2} + y + 2} \over {x + 1}} = {{ - 1} \over {x - 2y}} = {1 \over {2y - x}} \cr} \]
Thay \[x = - 1,76;y = {3 \over {25}}\]
\[P = {1 \over {2.{3 \over {25}} - \left[ { - 1,76} \right]}} = {1 \over {0,24 + 1,76}} = {1 \over 2}\]
Câu II.2 trang 42 Sách bài tập [SBT] Toán 8 tập 1
[Đề thi học sinh giỏi, lớp 8 toàn quốc năm 1980].
Thực hiện phép tính :
\[{1 \over {\left[ {b - c} \right]\left[ {{a^2} + ac - {b^2} - bc} \right]}} + {1 \over {\left[ {c - a} \right]\left[ {{b^2} + ab - {c^2} - ac} \right]}} + {1 \over {\left[ {a - b} \right]\left[ {{c^2} + bc - {a^2} - ab} \right]}}\]
Giải:
\[{1 \over {\left[ {b - c} \right]\left[ {{a^2} + ac - {b^2} - bc} \right]}} + {1 \over {\left[ {c - a} \right]\left[ {{b^2} + ab - {c^2} - ac} \right]}} + {1 \over {\left[ {a - b} \right]\left[ {{c^2} + bc - {a^2} - ab} \right]}}\]
\[\eqalign{ & = {1 \over {\left[ {b - c} \right]\left[ {\left[ {a + b} \right]\left[ {a - b} \right] + c\left[ {a - b} \right]} \right]}} + {1 \over {\left[ {c - a} \right]\left[ {\left[ {b + c} \right]\left[ {b - c} \right] + a\left[ {b - c} \right]} \right]}} \cr & + {1 \over {\left[ {a - b} \right]\left[ {\left[ {c + a} \right]\left[ {c - a} \right] + b\left[ {c - a} \right]} \right]}} \cr & = {1 \over {\left[ {b - c} \right]\left[ {a - b} \right] + \left[ {a + b + c} \right]}} + {1 \over {\left[ {c - a} \right]\left[ {b - c} \right]\left[ {a + b + c} \right]}} + {1 \over {\left[ {a - b} \right]\left[ {c - a} \right]\left[ {a + b + c} \right]}} \cr & = {{c - a + a - b + b - c} \over {\left[ {a - b} \right]\left[ {b - c} \right]\left[ {c - a} \right]\left[ {a + b + c} \right]}} = 0 \cr} \]