So sánh dãy phân số lớp 6 nâng cao
|
Các phương pháp so sánh phân số cơ bản đến nâng cao. So sánh phân số là nôi dung quan trọng ta gặp rất nhiều từ chương trình toán 5, toán 6 đến toán 7. Để giúp các em dễ dàng ôn tập cũng như giúp các thầy cô có thêm tài liệu luyện tập cho học sinh, dưới đây là các cách so sánh phân số hay dùng trong chương trình. Show
Cách 1. So sánh phân số bằng cách quy đồng mẫu sốKhi gặp các bài toán so sánh phân số, cách đơn giản và cơ bản nhất học sinh có thể làm là quy đồng mẫu số. Với cách này, học sinh chỉ cần thành thạo các bước để quy đồng mẫu số và sau đó đánh giá hai phân số đó. Các bước thực hiện như sau: Bước 1. Viết các phân số dưới dạng phân số có cùng mẫu dương. Hay nói cách khác, đây là bước quy đồng phân số. Bước 2. So sánh các tử số với nhau. Phân số nào có tử số lớn hơn thì phân số đó lớn hơn. Cách 2. So sánh phân số bằng cách quy đồng tử sốCách làm này có thể phát biểu như sau: Trong hai phân số có tử và mẫu số đều dương, tử số bằng nhau thì phân số nào có mẫu số lớn hơn thì nhỏ hơn và ngược lại. II – Toán so sánh nâng cao lớp 6 – Toán học sinh giỏi lớp 6Khi không thể làm theo 2 cách cơ bản (tử số và mẫu số quá lớn khó quy đồng) ta có thể sử dụng 7 phương pháp sau để so sánh, Lý thuyết so sánh hai phân số– Có cùng mẫu số: ta so sánh hai tử số, phân số nào có tử số lớn hơn thì phân số đó lớn hơn. – Không cùng mẫu số: thì ta quy đồng mẫu số rồi so sánh hai tử số của các phân số đã quy đồng được. Các phương pháp so sánh 2 phân số – Cách so sánh bắc cầu– Nếu hai phân số có cùng tử số thì phân số nào có mẫu số lớn hơn thì phân số đó nhỏ hơn. Quy tắc so sánh với 1– So sánh với 1: Tử số lớn hơn mẫu số thì phân số lớn hơn 1 và ngược lại. Dụng phần bù đến đơn vị để so sánh các phân số– So sánh “phần bù” với 1 của mỗi phân số: + Phần bù với đơn vị của phân số là hiệu giữa 1 và phân số đó. +Trong hai phân số, phân số nào có phần bù lớn hơn thì phân số đó nhỏ hơn và ngược lại. – So sánh “phần hơn” với 1 của mỗi phân số: + Phần hơn với đơn vị của phân số là hiệu của phân số và 1. + Trong hai phân số, phân số nào có phần hơn lớn hơn thì phân số đó lớn hơn. – So sánh qua một phân số trung gian. * Cách chọn phân số trung gian: – Trong một số trường hợp đơn giản, có thể chọn phân số trung gian là những phân số dễ tìm được như: – Trong trường hợp hiệu của tử số của phân số thứ nhất với tử số của phân số thứ hai và hiệu của mẫu số phân số thứ nhất với mẫu số của phân số thứ hai có mối quan hệ với nhau về tỉ số thì ta nhân cả tử số và mẫu số của cả hai phân số lên một số lần sao cho hiệu giữa hai tử số và hiệu giữa hai mẫu số của hai phân số là nhỏ nhất. Sau đó ta tiến hành chọn phân số trung gian như trên. – Đưa hai phân số về dạng hỗn số để so sánh – Khi thực hiện phép chia tử số cho mẫu số của hai phân số ta đợc cùng thương thì ta đưa hai phân số cần so sánh về dạng hỗn số, rồi so sánh hai phần phân số của hai hỗn số đó. * Chú ý: Khi mẫu số của hai phân số cùng chia hết cho một số tự nhiên ta có thể nhân cả hai phân số đó với số tự nhiên đó rồi đưa kết quả vừa tìm được về hỗn số rồi so sánh hai hỗn số đó với nhau. – Thực hiện phép chia hai phân số để so sánh – Khi chia phân số thứ nhất cho phân số thứ hai, nếu thương tìm đợc bằng 1 thì hai phân số đó bằng nhau; nếu thương tìm đợc lớn hơn 1 thì phân số thứ nhất lớn hơn phân số thứ hai; nếu thương tìm được nhỏ hơn 1 thì phân số thứ nhất nhỏ hơn phân số thứ hai. Cách `2`: Trong hai phân số có tử và mẫu đều dương, nếu cùng tử thì phân số nào có mẫu nhỏ hơn, phân số đó sẽ lớn hơn. Trong một số trường hợp cụ thể, tùy theo đặc điểm của các phân số ta còn có thể so sánh bằng một vài phương pháp khác. Dưới đây sẽ là một số phương pháp đặc biệt để so sánh hai phân số mà không quy đồng mẫu hoặc tử (chỉ xét các phân số có tử và mẫu dương). PHƯƠNG PHÁP `1`: Dùng số `1` làm trung gian Nếu `a/b >1` và `c/d <1` thì `a/b > c/d` Ta sử dụng phương pháp trên khi nhận thấy một phân số có tử số lớn hơn mẫu số và phân số còn lại có tử số bé hơn mẫu số Ví dụ `1`: So sánh hai phân số `(2019)/(2018)` và `(2020)/(2021)`. Vì `(2019)/(2018) >1` ; `(2020)/(2021) <1` nên `(2019)/(2018) > (2020)/(2021)`. PHƯƠNG PHÁP `2`: Dùng phân số làm trung gian Thường có `2` cách chọn phân số trung gian: Cách `1`: Chọn một phân số trung gian có cùng tử với phân số này, cùng mẫu với phân số kia Ta sử dụng cách trên nếu nhận thấy tử số của phân số thứ nhất bé hơn tử số của phân số thứ hai và mẫu số của phân số thứ nhất lớn hơn mẫu số của phân số thứ 2 Ví dụ `2`: So sánh `(64)/(85)` và `(73)/(81)`. Để so sánh hai phân số trên, ta sẽ chọn phân số trung gian sao cho phân số này có tử là tử của phân số thứ nhất, có mẫu là mẫu của phân số thứ `2` (hoặc ngược lại) * Cách 1: Chọn phân số `(64)/(81)` làm trung gian Vì `(64)/(85) < (64)/(81)` ; `(64)/(81) < (73)/(81)` `=> (64)/(85) < (73)/(81)` Vậy `(64)/(85) < (73)/(81)`. * Cách 2: Chọn phân số `(73)/(85)` làm trung gian Vì `(64)/(85) < (73)/(85)` ; `(73)/(85) < (73)/(81)` `=> (64)/(85) < (73)/(81)` Vậy `(64)/(85) < (73)/(81)`. Cách `2`: Chọn một phân số trung gian có mối quan hệ với hai phân số đã cho Ta sử dụng cách trên nếu nhận thấy tử số và mẫu số của phân số thứ nhất bé hơn tử số và mẫu số của phân số thứ hai nhưng cả hai phân số đều xấp xỉ với một phân số nào đó. Ví dụ 3: So sánh `(12)/(47)` và `(19)/(77)`. Ta thấy hai phân số `(12)/(47)` và `(19)/(77)` đều xấp xỉ `1/4` nên ta chọn `1/4` làm trung gian Ta có: `(12)/(47) > (12)/(48) = 1/4`; `(19)/(77) < (19)/(76) = 1/4 => (12)/(47) > (19)/(76)` Vậy `(12)/(47) > (19)/(76) `. PHƯƠNG PHÁP `3`: So sánh “phần thừa” hoặc “phần thiếu” của hai phân số Cách `1`: So sánh “phần thừa” Nếu `a/b =m+A` ; `c/d = m+B`; mà `A>B` thì `a/b > c/d` `A` và `B` theo thứ tự gọi là “phần thừa” so với `m` của hai phân số `a/b` và `c/d` Ví dụ `4`: So sánh `(79)/(76)` và `(86)/(83)`. Ta có: `(79)/(76) =1 + 3/(76)` ; `(86)/(83) = 1 + 3/(83)` Vì `3/(76) > 3/(83) => (79)/(76) > (86)/(83)`. Cách `2`: So sánh “phần thiếu” Nếu `a/b =m-E` ; `c/d = m-F`; mà `E>F` thì `a/b < c/d` `E` và `F` theo thứ tự gọi là “phần thiếu” so với `m` của hai phân số `a/b` và `c/d` Ví dụ `5`: So sánh `(456)/(461)` và `(123)/(128)`. Ta có: `(456)/(461) =1 - 5/(461)` ; `(123)/(128) = 1- 5/(128)` Vì `5/(461) < 5/(128) => 1 - 5/(461) < 1- 5/(128) => (456)/(461) < (123)/(128)` Vậy `(456)/(461) < (123)/(128)`. PHƯƠNG PHÁP `4`: Viết phân số dưới dạng hỗn số Trong hai hỗn số dương: - Hỗn số nào có phần nguyên lớn hơn thì hỗn số đó lớn hơn. - Nếu hai phần nguyên bằng nhau thì hỗn số nào có phần phân số kèm theo lớn hơn thì hỗn số đó lớn hơn. Ví dụ `6`: Sắp xếp các phân số sau theo thứ tự tăng dần: `(498)/(31); (466)/(29); (513)/(34)`. Ta có: `(498)/(31) = 16 2/31` ; `(466)/(29) = 16 2/29` ; `(513)/(34) = 15 3/34` Vì `15 3/34 < 16 2/31 < 16 2/29 => (513)/(34) < (498)/(31) < (466)/(29) ` Vậy `(513)/(34) < (498)/(31) < (466)/(29) `. PHƯƠNG PHÁP `5`: Cộng cùng một số nguyên dương vào tử và mẫu của một phân số Với `a,b, m in NN^(**)` ta có: Nếu `a/b < 1` thì `a/b < (a+m)/(b+m)` Nếu `a/b > 1` thì `a/b > (a+m)/(b+m)` Ví dụ `7`: Cho các phân số `A= (10^(20) +2)/(10^(21) +2)` ; `B= (10^(19) +1)/(10^(20) +1)` . So sánh `A` và `B`. Dễ thấy `A= (10^(20) +2)/(10^(21) +2) <1` `=> A = (10^(20) +2)/(10^(21) +2) < ((10^(20) +2)+8)/((10^(21) +2)+8) = (10^(20) +10)/(10^(21) +10) = (10.(10^(19) +1))/(10.(10^(20) +1)) < (10^(19) +1)/(10^(20) +1)` Vậy `A < B`. Một số bài tập tự luyện Bài `1`. Không thực hiện quy đồng; hãy so sánh các phân số: `a)` `(77)/(95) ; (76)/(99)` `b)` `(59)/(101) ; (56)/(105)` `c)` `(18)/(91)` ; `(23)/(114)` `d)` `(58)/(89) ; (36)/(53)` Bài `2`. Không thực hiện quy đồng; hãy so sánh các phân số: `a)` `(2011)/(2010)` ; `(2012)/(2011)` `b)` `(2020.2021 +1)/(2020.2021)` ; `(2021.2022 +1)/(2021.2022)` `c)` `(145)/(149) ; (673)/(677)` `d)` `(53)/(57) ; (531)/(571)` Bài `3`. So sánh `A= (5.(11.13-22.26))/(22.26 -44.52)` và `B= (138^2 -690)/(137^2 -548)`. Bài `4`. `a)` Cho các phân số `A= (10^(11) -1)/(10^(12) -1)` và `B=(10^(10) +1)/(10^(11) +1)`. So sánh `A` và `B`. `b)` Cho các phân số ` C= (100^(2015) +1)/(100^(2014) +1)` và `D=(100^(2016) +1)/(100^(2015) +1)` . So sánh `C` và `D`. Bài 5. `a)` Viết các phân số sau theo thứ tự giảm dần: `(155)/9 ; (87)/5 ; (123)/8`. `b)` Viết các phân số sau theo thứ tự tăng dần: `(659)/(217) ; (1711)/(341) ; (721)/(143) ; (221)/(71)`. |
