Khái niệm hàm số lũy thừa - lý thuyết hàm số lũy thừa

1. Khái niệm hàm số lũy thừa

Hàm số lũy thừa là các hàm số dạng \(y = {x^\alpha }\left( {\alpha \in R} \right)\). Các hàm số lũy thừa có tập xác định khác nhau, tùy theo \(\alpha\):

- Nếu \(\alpha\) nguyên dươngthì tập các định là \(R\).

- Nếu \(\alpha \) nguyên âm hoặc \(\alpha = 0\) thì tập các định là \(R\backslash \left\{ 0 \right\}\).

- Nếu\(\alpha \) không nguyên thì tập các định là \(\left( {0; + \infty } \right)\).

Chú ý: Hàm số \(y = \sqrt x \)có tập xác định là \(\left[ {0; + \infty } \right)\), hàm số \(y = \sqrt[3]{x}\)có tập xác định \(R\), trong khi đó các hàm \(y = {x^{\frac{1}{2}}},y = {x^{\frac{1}{3}}}\)đều có tập xác định \((0; +)\). Vì vậy \(y = \sqrt x \)và \(y = {x^{\frac{1}{2}}}\)( hay \(y = \sqrt[3]{x}\)và \(y = {x^{\frac{1}{3}}}\)) là những hàm số khác nhau.

2. Đạo hàm của hàm số lũy thừa với số mũ tổng quát

- Hàm số \(y = {x^\alpha }\)có đạo hàm tai mọi \(x(0; +)\) và \(y' = \left( {{x^\alpha }} \right)' = \alpha {x^{\alpha - 1}}\)

- Nếu hàm số \(u=u(x)\) nhận giá trị dương và có đạo hàm trong khoảng \(J\) thì hàm số \(y = {u^\alpha }\left( x \right)\)cũng có đạo hàm trên\(J\) và \[y' = \left[ {{u^\alpha }\left( x \right)} \right]' = \alpha {u^{\alpha - 1}}\left( x \right)u'\left( x \right)\]

3. Đạo hàm của hàm số lũy thừa với số mũ nguyên dương

Trong trường hợp số mũ nguyên dương, hàm số lũy thừa \(y=x^n\)có tập xác định là\(R\) và có đạo hàm trên toàn trục số. Công thức tính đạo hàm số lũy thừa tổng quát được mở rộng thành\(\forall x \in R,\left( {{x^n}} \right)' = n{x^{n - 1}}\)và \[\forall x \in J,\left[ {{u^n}\left( x \right)} \right]' = n{u^{n - 1}}\left( x \right)u'\left( x \right)\]nếu \(u= u(x) \) có đạo hàm trong khoảng \(J\).

4. Đạo hàm của hàm số lũy thừavới số mũ nguyên âm

Nếu số mũ là số nguyên âm thì hàm số lũy thừa \(y=x^n\) có tập xác định là\(R\backslash \left\{ 0 \right\}\)và có đạo hàm tại mọi \(x\) khác \(0\), công thức đạo hàm hàm số lũy thừa tổng quát được mở rộng thành \(\forall x \ne 0,\left( {{x^n}} \right)' = n{x^{n - 1}}\)và\[\forall x \in J,\left[ {{u^n}\left( x \right)} \right]' = n{u^{n - 1}}\left( x \right)u'\left( x \right)\]

nếu \(u= u(x) \ne 0\) có đạo hàm trong khoảng \(J\).

5. Đạo hàm của căn thức

Hàm số \(y = \sqrt[n]{x}\)có thể xem là mở rộng của hàm lũy thừa \(y = {x^{\frac{1}{n}}}\)(tập xác định của\(y = \sqrt[n]{x}\)chứa tập xác định của \(y = {x^{\frac{1}{n}}}\)và trên tập xác định của \(y = {x^{\frac{1}{n}}}\) thìhai hàm số trùng nhau).

Khi \(n\) lẻ thì hàm số\(y = \sqrt[n]{x}\) có tập xác định \(R\). Trên khoảng \((0; +) \) ta có \(y = \sqrt[n]{x} = {x^{\frac{1}{n}}}\)và \(\left( {{x^{\frac{1}{n}}}} \right)' = \dfrac{1}{n}{x^{\frac{1}{n} - 1}}\), do đó \(\left( {\sqrt[n]{x}} \right)' = \dfrac{1}{{n\sqrt[n]{{{x^{n - 1}}}}}}\).

Công thức này còn đúng cả với \(x < 0\) và hàm số \(y = \sqrt[n]{x}\)không có đạo hàm tại \(x= 0\).

Khi \(n\) chẵn hàm \(y = \sqrt[n]{x}\)có tập xác định là \([0;+)\), không có đạo hàm tại\(x= 0\) và có đạo hàm tại mọi \(x > 0\) tính theocông thức:

\[ \left( {\sqrt[n]{x}} \right)' =\left( {\sqrt[n]{x}} \right)' = \dfrac{1}{{n\sqrt[n]{{{x^{n - 1}}}}}}\]

Tóm lại, ta có\( \left( {\sqrt[n]{x}} \right)' =\left( {\sqrt[n]{x}} \right)' = \dfrac{1}{{n\sqrt[n]{{{x^{n - 1}}}}}}\)đúng với mọi \(x\) làm cho hai vế có nghĩa.

Sử dụng quy tắc đạo hàm hàm hợp ta suy ra: Nếu \(u=u(x)\) là hàm có đạo hàm trên khoảng \(J\) và thỏa mãn điều kiện \(u(x) > 0,x J\) khi \(n\) chẵn, \(u\left( x \right) \ne 0,\forall x \in J\)khi \(n\) lẻ thì

\[\forall x \in J,\left( {\sqrt[n]{{u\left( x \right)}}} \right)' = \dfrac{{u'\left( x \right)}}{{n\sqrt[n]{{{u^{n - 1}}\left( x \right)}}}}\]

6. Đồ thị hàm số \(y = {x^\alpha }\)trên khoảng \((0; +)\)

Chú ý: Khi khảo sát hàm số \(y = {x^\alpha }\)với \(\alpha \) cụ thể, cần xét hàm số trên toàn tập xác định của nó (chứ không phải chỉ xét trên khoảng \((0; +)\) như trên).