Bài 10 trang 52 sgk hình học 10 nâng cao

LG a

Chứng minh rằng \(\overrightarrow {AM} .\overrightarrow {AI} = \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AI} \,\,;\,\,\overrightarrow {BN} .\overrightarrow {BI} = \overrightarrow {BA} .\overrightarrow {BI}.\)

Phương pháp giải:

Sửa dụng quy tắc ba điểm, xen điểm thích hợp và chú ý:\[\overrightarrow a \bot \overrightarrow b \Leftrightarrow \overrightarrow a .\overrightarrow b = 0\]

Lời giải chi tiết:

AB là đường kính nên \(\widehat {AMB} = \widehat {ANB} = {90^0}\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
AM \bot MB\\
AN \bot NB
\end{array} \right.\)

Ta có: \({\overrightarrow {AI} .\overrightarrow {AM} } = \overrightarrow {AI} \left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BM} } \right) \)

\(= \overrightarrow {AI} .\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AI} .\overrightarrow {BM} \)

Mặt khác: \(\overrightarrow {AI} \bot \overrightarrow {BM} \) (do AM\(\bot\) MB) nên \(\overrightarrow {AI} .\overrightarrow {BM} = 0\)

Từ đó: \(\overrightarrow {AI} .\overrightarrow {AM} = \overrightarrow {AI} .\overrightarrow {AB} +0\) \(=\overrightarrow {AI} .\overrightarrow {AB}\)

Hay\(\overrightarrow {AM} .\overrightarrow {AI} = \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AI}\)

Ta có: \(\overrightarrow {BI} .\overrightarrow {BN} = \overrightarrow {BI} \left( {\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {AN} } \right) \)\(= \overrightarrow {BI} .\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {BI} .\overrightarrow {AN} \)

Mặt khác: \(\overrightarrow {BI} \bot \overrightarrow {AN} \) (vì BN \(\bot\) NA) nên \(\overrightarrow {BI} .\overrightarrow {AN} = 0\)

Từ đó: \(\overrightarrow {BI} .\overrightarrow {BN} = \overrightarrow {BI} .\overrightarrow {BA} +0\)\(=\overrightarrow {BI} .\overrightarrow {BA}\).

Hay \(\overrightarrow {BN} .\overrightarrow {BI} = \overrightarrow {BA} .\overrightarrow {BI}.\)

LG b

Tính \(\overrightarrow {AM} .\overrightarrow {AI} + \,\,\overrightarrow {BN} .\overrightarrow {BI} \)theo \(R\).

Lời giải chi tiết:

\(\eqalign{& \overrightarrow {AM} .\overrightarrow {AI} + \overrightarrow {BN} .\overrightarrow {BI}\cr& = \overrightarrow {AI} .\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BI} .\overrightarrow {BA} \cr &= \overrightarrow {AI} .\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BI} .\left( { - \overrightarrow {AB} } \right)\cr &= \overrightarrow {AI} .\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {BI} .\overrightarrow {AB} \cr&= \overrightarrow {AB} \left( {\overrightarrow {AI} - \overrightarrow {BI} } \right) \cr & = \overrightarrow {AB} .\left( {\overrightarrow {AI} + \overrightarrow {IB} } \right)\cr &= \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AB} = {\overrightarrow {AB} ^2} = 4{{\rm{R}}^2} \cr} \)