Bài 17 trang 40 sbt hình học 10 nâng cao
\(\begin{array}{l}\overrightarrow {AN} .\overrightarrow {AB} = 2{a^2}\\\Leftrightarrow \overrightarrow {AN} .\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC}\\\Leftrightarrow \overrightarrow {AB} (\overrightarrow {AN} - \overrightarrow {AC} ) = 0\\\Leftrightarrow \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CN} = 0 \Leftrightarrow CN \bot AB.\end{array}\)
Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn
Cho hai điểm cố định \(A ,B\) có khoảng cách bằng \(a.\) LG a Tìm tập hợp các điểm \(M\) sao cho \(\overrightarrow {MA} .\overrightarrow {MB} = k\). Lời giải chi tiết: Gọi \(O\) là trung điểm cả \(AB\) thì \(\overrightarrow {OA} = - \overrightarrow {OB} \). Với mọi điểm \(M\) ta có \(\begin{array}{l}\overrightarrow {MA} .\overrightarrow {MB} \\ = (\overrightarrow {MO} + \overrightarrow {OA} ).(\overrightarrow {MO} + \overrightarrow {OB} )\\ = (\overrightarrow {MO} - \overrightarrow {OB} ).(\overrightarrow {MO} + \overrightarrow {OB} )\\= M{O^2} - O{B^2} \\= M{O^2} - \dfrac{{{a^2}}}{4}.\end{array}\) Từ đó \(\overrightarrow {MA} .\overrightarrow {MB} = k \) \(\Leftrightarrow M{O^2} - \dfrac{{{a^2}}}{4} = k\) \(\Leftrightarrow M{O^2} = \dfrac{{{a^2}}}{4} + k. (*)\) Ta có \(O\) cố định, \(\dfrac{{{a^2}}}{4} + k\) là số không đổi nên: - Nếu \(k < - \dfrac{{{a^2}}}{4}\)thì tập các điểm \(M\) là tập các điểm rỗng. - Nếu \(k = - \dfrac{{{a^2}}}{4}\)thì tập các điểm\(M\) chỉ gồm một điểm \(O\). - Nếu \(k > - \dfrac{{{a^2}}}{4}\) thì tập các điểm\(M\) là đường tròn tâm \(O\) bán kính \(R = \dfrac{1}{2}\sqrt {{a^2} + 4k} .\) LG b Tìm tập hợp các điểm \(N\) sao cho \(\overrightarrow {AN} .\overrightarrow {AB} = 2{a^2}\). Lời giải chi tiết: Lấy điểm \(C\) sao cho \(\overrightarrow {AC} = 2\overrightarrow {AB} \). Khi đó \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = 2{\overrightarrow {AB} ^2} = 2{a^2}.\) Từ đó có \(\begin{array}{l}\overrightarrow {AN} .\overrightarrow {AB} = 2{a^2}\\\Leftrightarrow \overrightarrow {AN} .\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC}\\\Leftrightarrow \overrightarrow {AB} (\overrightarrow {AN} - \overrightarrow {AC} ) = 0\\\Leftrightarrow \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CN} = 0 \Leftrightarrow CN \bot AB.\end{array}\) Vậy tập hợp các điểm \(N\) là đường thẳng vuông góc với đường thẳng \(AB\) tại điểm \(C.\)
|