- LG a
- LG b
- LG c
Cho ba điểm \[A[2 ; 0], B[4 ; 1], C[1 ; 2].\]
LG a
Chứng minh rằng \[A, B, C\] là ba đỉnh của một tam giác.
Lời giải chi tiết:
\[\overrightarrow {AB} = [2 ; 1], \overrightarrow {AC} = [ - 1 ; 2]\], \[\overrightarrow {AB} \] và \[\overrightarrow {AC} \] không cùng phương . Do đó \[A, B, C\] không thẳng hàng và là ba đỉnh của một tam giác.
LG b
Viết phương trình đường phân giác trong của góc \[A.\]
Lời giải chi tiết:
Phương trình đường thẳng \[AB\]: \[x-2y-2=0.\]
Phương trình đường thẳng \[AC\]: \[2x+y-4=0.\]
Phương trình các đường phân giác trong và ngoài của góc \[A\] là
\[ \dfrac{{x - 2y - 2}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2}} }} = \pm \dfrac{{2x + y - 4}}{{\sqrt {{2^2} + {1^2}} }}\]
\[\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x + 3y - 2 = 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,[1]\\3x - y - 6 = 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,[2]\end{array} \right.\]
Thay lần lượt tọa độ của \[B\] và \[C\] vào vế trái của [1] ta được
\[4 + 3.1 - 2 = 5 ;\] \[ 1 + 3.2 - 2 = 5\].
Do đó \[B, C\] cùng phía đối với đường thẳng có phương trình [1], vậy phương trình đường phân giác trong của góc \[A\] là \[3x-y-6=0.\]
LG c
Tìm tọa độ tâm \[I\] của đường tròn nội tiếp tam giác \[ABC.\]
Lời giải chi tiết:
\[\overrightarrow {BC} = [ - 3 ; 1]\]. Phương trình đường thẳng \[BC\] là \[x+3y-7=0.\]
Phương trình các đường phân giác trong và ngoài của góc \[B\] là
\[ \dfrac{{x - 2y - 2}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2}} }} = \pm \dfrac{{x + 3y - 7}}{{\sqrt {{1^2} + {3^2}} }}\]
\[\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}[\sqrt 2 - 1]x - [2\sqrt 2 + 3]y + 7 - 2\sqrt 2 = 0\,\,\,\,\,\,\,\,[3]\\[\sqrt 2 + 1]x + [3 - 2\sqrt 2 ]y - 7 - 2\sqrt 2 = 0 \,\,\,\,\,\,\,\,[4]\end{array} \right.\]
Thay lần lượt tọa độ của \[A\] và \[C\] vào vế trái của [3] ta được:
\[[\sqrt 2 - 1].2 + 7 - 2\sqrt 2 = 5 ;\] \[ [\sqrt 2 - 1].1 - [2\sqrt 2 + 3].2 + 7 - 2\sqrt 2 = - 5\sqrt 2. \]
Suy ra phương trình đường phân giác trong của góc \[B\] là
\[[\sqrt 2 - 1]x - [2\sqrt 2 + 3]y + 7 - 2\sqrt 2 = 0.\]
Tâm \[I\] của đường tròn nội tiếp tam giác là giao điểm của các đường phân giác trong. Tọa độ của \[I\] là nghiệm của hệ
\[\left\{ \begin{array}{l}3x - y - 6 = 0\\[\sqrt 2 - 1]x - [2\sqrt 2 + 3]y + 7 - 2\sqrt 2 = 0\end{array} \right. \]
\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{{5 + 2\sqrt 2 }}{{2 + \sqrt 2 }}\\y = \dfrac{3}{{2 + \sqrt 2 }}\end{array} \right.\].
Vậy \[I = \left[ { \dfrac{{5 + 2\sqrt 2 }}{{2 + \sqrt 2 }} ; \dfrac{3}{{2 + \sqrt 2 }}} \right]\].