- LG a
- LG b
Cho hai điểm cố định \[A ,B\] có khoảng cách bằng \[a.\]
LG a
Tìm tập hợp các điểm \[M\] sao cho \[\overrightarrow {MA} .\overrightarrow {MB} = k\].
Lời giải chi tiết:
Gọi \[O\] là trung điểm cả \[AB\] thì \[\overrightarrow {OA} = - \overrightarrow {OB} \].
Với mọi điểm \[M\] ta có
\[\begin{array}{l}\overrightarrow {MA} .\overrightarrow {MB} \\ = [\overrightarrow {MO} + \overrightarrow {OA} ].[\overrightarrow {MO} + \overrightarrow {OB} ]\\ = [\overrightarrow {MO} - \overrightarrow {OB} ].[\overrightarrow {MO} + \overrightarrow {OB} ]\\= M{O^2} - O{B^2} \\= M{O^2} - \dfrac{{{a^2}}}{4}.\end{array}\]
Từ đó
\[\overrightarrow {MA} .\overrightarrow {MB} = k \]
\[\Leftrightarrow M{O^2} - \dfrac{{{a^2}}}{4} = k\]
\[\Leftrightarrow M{O^2} = \dfrac{{{a^2}}}{4} + k. [*]\]
Ta có \[O\] cố định, \[\dfrac{{{a^2}}}{4} + k\] là số không đổi nên:
- Nếu \[k < - \dfrac{{{a^2}}}{4}\]thì tập các điểm \[M\] là tập các điểm rỗng.
- Nếu \[k = - \dfrac{{{a^2}}}{4}\]thì tập các điểm\[M\] chỉ gồm một điểm \[O\].
- Nếu \[k > - \dfrac{{{a^2}}}{4}\] thì tập các điểm\[M\] là đường tròn tâm \[O\] bán kính \[R = \dfrac{1}{2}\sqrt {{a^2} + 4k} .\]
LG b
Tìm tập hợp các điểm \[N\] sao cho \[\overrightarrow {AN} .\overrightarrow {AB} = 2{a^2}\].
Lời giải chi tiết:
Lấy điểm \[C\] sao cho \[\overrightarrow {AC} = 2\overrightarrow {AB} \]. Khi đó \[\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = 2{\overrightarrow {AB} ^2} = 2{a^2}.\]
Từ đó có
\[\begin{array}{l}\overrightarrow {AN} .\overrightarrow {AB} = 2{a^2}\\\Leftrightarrow \overrightarrow {AN} .\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC}\\\Leftrightarrow \overrightarrow {AB} [\overrightarrow {AN} - \overrightarrow {AC} ] = 0\\\Leftrightarrow \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CN} = 0 \Leftrightarrow CN \bot AB.\end{array}\]
Vậy tập hợp các điểm \[N\] là đường thẳng vuông góc với đường thẳng \[AB\] tại điểm \[C.\]