Đề bài
Cho ngũ giác \[ABCDE\]. Gọi \[M, N, P, Q\] lần lượt là trung điểm các cạnh \[AB, BC, CD, DE\]. Gọi \[I\] và \[J\] lần lượt là trung điểm các đoạn \[MP\] và \[NQ\].
Chứng minh rằng \[IJ// AE\] và \[IJ = \dfrac{1}{4}AE\].
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng tính chất trung điểm:
Cho điểm I là trung điểm AB, với điểm M bất kì ta có: \[\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} = 2\overrightarrow {MI} \]
Lời giải chi tiết
J là trung điểm của NQ nên với điểm I ta có:
\[\eqalign{ & 2\overrightarrow {IJ} = \overrightarrow {IQ} + \overrightarrow {IN} \cr & \,\,\,\,\,\,\,\,\, = \overrightarrow {IM} + \overrightarrow {MQ} + \overrightarrow {IP} + \overrightarrow {PN} \cr & \,\,\,\,\,\,\,\,\, = \overrightarrow {MQ} + \overrightarrow {PN} [do\,\overrightarrow {IM} + \overrightarrow {IP} = \overrightarrow 0 ] \cr} \]
Mà
\[\begin{array}{l}
\overrightarrow {MQ} = \overrightarrow {MA} + \overrightarrow {AE} + \overrightarrow {EQ} \\
\overrightarrow {MQ} = \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {BD} + \overrightarrow {DQ} \\
\Rightarrow 2\overrightarrow {MQ} = \left[ {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} } \right]\\
+ \left[ {\overrightarrow {AE} + \overrightarrow {BD} } \right] + \left[ {\overrightarrow {EQ} + \overrightarrow {DQ} } \right]\\
\Rightarrow 2\overrightarrow {MQ} = \overrightarrow {AE} + \overrightarrow {BD} \\
\Rightarrow \overrightarrow {MQ} = \frac{1}{2}\left[ {\overrightarrow {AE} + \overrightarrow {BD} } \right]\\
\Rightarrow \overrightarrow {MQ} + \overrightarrow {PN} = \frac{1}{2}\left[ {\overrightarrow {AE} + \overrightarrow {BD} } \right] + \frac{1}{2}\overrightarrow {DB} \\
= \frac{1}{2}\overrightarrow {AE} + \frac{1}{2}\overrightarrow {BD} + \frac{1}{2}\overrightarrow {DB} \\
= \frac{1}{2}\overrightarrow {AE} + \frac{1}{2}\overrightarrow {BD} - \frac{1}{2}\overrightarrow {BD} \\
= \frac{1}{2}\overrightarrow {AE}
\end{array}\]
\[ \Rightarrow 2\overrightarrow {IJ} = \frac{1}{2}\overrightarrow {AE} \Rightarrow \overrightarrow {IJ} = \frac{1}{4}\overrightarrow {AE} \]
Suy ra \[IJ // AE\] và \[IJ = \dfrac{1}{4}AE\].