Đề bài
Cho tam giác \[ABC\]. Lấy các điểm \[A, B, C\] sao cho
\[\overrightarrow {A'B} = - 2\overrightarrow {A'C} ;\] \[\overrightarrow {B'C} = - 2\overrightarrow {B'A};\] \[\overrightarrow {C'A} = - 2\overrightarrow {C'B} \]
Đoạn thẳng \[AA\] cắt các đoạn \[BB\] và \[CC\] lần lượt tại \[M\] và \[N\], hai đoạn \[BB\] và \[CC\] cắt nhau tại \[P\].
a] So sánh các đoạn thẳng \[AM, MN, NA.\]
b] So sánh diện tích hai tam giác \[ABC, MNP.\]
Lời giải chi tiết
a] Đặt \[\overrightarrow {CA} = \overrightarrow a \,\,;\,\,\overrightarrow {CB} = \overrightarrow b \]. Theo giả thiết ta có:
\[\overrightarrow {CA'} = \dfrac{{\overrightarrow {CB} }}{3} = \dfrac{{\overrightarrow b }}{3};\] \[\overrightarrow {CB'} = \dfrac{2}{3}\overrightarrow {CA} = \dfrac{{2\overrightarrow a }}{3};\] \[\overrightarrow {CC'} = \dfrac{{\overrightarrow {CA} + 2\overrightarrow {CB} }}{3} = \dfrac{{\overrightarrow a + 2\overrightarrow b }}{3}\]
Vì \[M\] là giao điểm của \[AA\] và \[BB\] nên có các số \[x\] và \[y\] sao cho :
\[\overrightarrow {CM} = x\overrightarrow {CA} + [1 - x]\overrightarrow {CA'}\]
\[ = y\overrightarrow {CB} + [1 - y]\overrightarrow {CB'} \],
hay
\[x\overrightarrow a + [1 - x]\dfrac{{\overrightarrow b }}{3}\]
\[= y\overrightarrow b + [1 - y]\dfrac{{2\overrightarrow a }}{3}\].
Vì hai vec tơ \[\overrightarrow a \,,\,\,\overrightarrow b \] không cùng phương nên từ đẳng thức trên ta suy ra
\[x = \dfrac{{2[1 - y]}}{3}\] và \[y = \dfrac{{1 - x}}{3}\].
Giaỉ ra ta được \[x = \dfrac{4}{7}\,,\,\,y = \dfrac{1}{7}\]
Từ đó ta có
\[\begin{array}{l}\overrightarrow {CM} = \dfrac{4}{7}\overrightarrow {CA} + \dfrac{3}{7}\overrightarrow {CA'} \\ \Rightarrow \dfrac{4}{7}\overrightarrow {MA} + \dfrac{3}{7}\overrightarrow {MA'} = \overrightarrow 0 \\ \Rightarrow \overrightarrow {MA} = - \dfrac{3}{4}\overrightarrow {MA'} \\\Rightarrow \,AM = \dfrac{3}{7}AA'\\\overrightarrow {CM} = \dfrac{1}{7}\overrightarrow {CB} + \dfrac{6}{7}\overrightarrow {CB'}\\ \Rightarrow \dfrac{1}{7}\overrightarrow {MB} + \dfrac{6}{7}\overrightarrow {MB'} = \overrightarrow 0 \\ \Rightarrow \overrightarrow {MB} = - 6\overrightarrow {MB'} \\\Rightarrow \,\,MB' = \dfrac{1}{7}BB'\end{array}\]
Tương tự với \[MB' = \dfrac{1}{7}BB'\] ta cũng có \[NA' = \dfrac{1}{7}AA'\].
Vì \[AM = \dfrac{3}{7}AA'\] nên \[MN = \dfrac{3}{7}AA'\]. Tóm lại, ta có \[AM=MN=3NA.\]
Tương tự \[BP=PM=3MB\] và \[CN=NP=3PC.\]
b] Gọi \[S\] là diện tích tam giác \[ABC\]. Từ giả thiết ta suy ra \[AB' = \dfrac{1}{3}AC,\] \[CA' = \dfrac{1}{3}CB,\] \[BC' = \dfrac{1}{3}BA\].
Vậy ta có \[{S_{ABB'}} = {S_{BCC'}} = {S_{CAA'}} = \dfrac{1}{3}S\].
Trong tam giác ABB, ta có \[MB' = \dfrac{1}{7}BB'\] nên \[{S_{AB'M}} = \dfrac{1}{7}{S_{ABB'}} = \dfrac{1}{{21}}S\].
Tương tự: \[{S_{AB'M}} = {S_{BC'P}} = {S_{CA'N}} = \dfrac{1}{{21}}S\].
Từ đó suy ra
\[\begin{array}{l}{S_{MNP}} = {S_{ABC}} - {S_{ABB'}} - {S_{BCC'}}\\ - {S_{CAA'}} + {S_{AB'M}} + {S_{BC'P}} + {S_{CA'N}}\\ = S - 3.\dfrac{S}{3} + 3.\dfrac{1}{{21}}S = \dfrac{1}{7}S\end{array}\]
Vậy \[{S_{ABC}} = 7{S_{MNP}}\].