Đề bài
Trong đường tròn \[C[O ; R]\] cho hai dây cung \[AA, BB\] vuông góc với nhau ở điểm \[S\] và gọi \[M\] là trung điểm của \[AB\]. Chứng minh rằng \[SM \bot A'B'\].
Lời giải chi tiết
[h.38].
Xét tích vô hướng
\[\begin{array}{l}\overrightarrow {SM} .\overrightarrow {A'B'}\\ = \dfrac{1}{2}\left[ {\overrightarrow {SA} + \overrightarrow {SB} } \right]\left[ {\overrightarrow {SB'} - \overrightarrow {SA'} } \right]\\ = \dfrac{1}{2}\left[ {\overrightarrow {SA} .\overrightarrow {SB'} - \overrightarrow {SA} .\overrightarrow {SA'} + \overrightarrow {SB} .\overrightarrow {SB'} - \overrightarrow {SB} .\overrightarrow {SA'} } \right].\end{array}\]
Ta có
\[\overrightarrow {SA} .\overrightarrow {SB'} = 0\] do \[SA \bot SB'\],
\[\overrightarrow {SB} .\overrightarrow {SA'} = 0\] do \[SB \bot SA'\],
\[\overrightarrow {SA} .\overrightarrow {SA'} = \overrightarrow {SB} .\overrightarrow {SB'} \].
Từ đó suy ra \[\overrightarrow {SM} .\overrightarrow {A'B'} = 0\], nên \[SM \bot A'B'\].