- LG a
- LG b
- LG c
Tìm các giá trị của m sao cho phương trình:
x4+ [1 - 2m]x2+ m2 1 = 0
LG a
Vô nghiệm
Phương pháp giải:
Đặt y = x2; y 0, chuyển điều kiện bài toán về điều kiện phương trình ẩn y. Cụ thể:
Phương trình đã cho vô nghiệm pt mới vô nghiệm hoặc chỉ có nghiệm âm.
Lời giải chi tiết:
Đặt y = x2; y 0, ta được phương trình:
y2+ [1 2m]y + m2 1 = 0 [1]
Phương trình đã cho vô nghiệm [1] vô nghiệm hoặc [1] chỉ có nghiệm âm
Phương trình [1] vô nghiệm khi và chỉ khi:
\[\eqalign{
& \Delta = {[1 - 2m]^2} - 4[{m^2} - 1] = 5 - 4m < 0 \cr
& \Rightarrow m > {5 \over 4} \cr} \]
Phương trình [1] chỉ có nghiệm âm khi và chỉ khi:
\[\left\{ \matrix{
\Delta \ge 0 \hfill \cr
P > 0 \hfill \cr
S < 0 \hfill \cr} \right.\]
Thay Δ = 5 4m, P = m2 1 và S = 2m 1, ta có hệ:
\[\left\{ \matrix{
5 - 4m \ge 0 \hfill \cr
{m^2} - 1 > 0 \hfill \cr
2m - 1 < 0 \hfill \cr} \right. \]
\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m \le \frac{5}{4}\\
\left[ \begin{array}{l}
m > 1\\
m < - 1
\end{array} \right.\\
m < \frac{1}{2}
\end{array} \right.\]
\[\Leftrightarrow m < - 1\]
Vậy phương trình đã cho vô nghiệm khi và chỉ khi
\[\left[ \matrix{
m < - 1 \hfill \cr
m > {5 \over 4} \hfill \cr} \right.\]
LG b
Có hai nghiệm phân biệt
Phương pháp giải:
Phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi phương trình ẩn y có hai nghiệm trái dấu hoặc có một nghiệm kép dương.
Lời giải chi tiết:
Phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi phương trình [1] có hai nghiệm trái dấu hoặc có một nghiệm kép dương.
Ta xét hai trường hợp:
+ Phương trình [1] có hai nghiệm trái dấu khi và chỉ khi:
P = m2- 1 < 0 hay -1 < m < 1.
+ Phương trình [1] có nghiệm kép \[\Delta = 0 \Leftrightarrow 5 - 4m = 0 \Leftrightarrow m = \frac{5}{4}\]
Khi đó, với \[m = {5 \over 4}\]thì phương trình [1] là \[{y^2} - \frac{3}{2}y + \frac{9}{{16}} = 0 \Leftrightarrow y = \frac{3}{4} > 0\] lànghiệm kép dương [thỏa mãn].
Vậy phương trình [1] có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi:
\[m \in [ - 1,1] \cup {\rm{\{ }}{5 \over 4}{\rm{\} }}\]
LG c
Có bốn nghiệm phân biệt
Phương pháp giải:
Phương trình đã cho có bốn nghiệm phân biệt khi và chỉ khi phương trình [1] có hai nghiệm dương phân biệt.
Lời giải chi tiết:
Phương trình đã cho có bốn nghiệm phân biệt khi và chỉ khi phương trình [1] có hai nghiệm dương phân biệt, tức là:
\[\left\{ \matrix{
\Delta > 0 \hfill \cr
P > 0 \hfill \cr
S > 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
5 - 4m > 0 \hfill \cr
{m^2} - 1 > 0 \hfill \cr
2m - 1 > 0 \hfill \cr} \right. \]
\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m < \frac{5}{4}\\
\left[ \begin{array}{l}
m > 1\\
m < - 1
\end{array} \right.\\
m > \frac{1}{2}
\end{array} \right. \Leftrightarrow 1 < m < \frac{5}{4}\]