Bài tập tính khoảng cách trong hình lăng trụ
|
Luyện thi Đại học cấp tốc môn Toán Thầy Đặng Việt Hùng 04. KHOẢNG CÁCH TRONG LĂNG TRỤ, HÌNH HỘP – P2 Thầy Đặng Việt Hùng BÀI TẬP CỦNG CỐ KIẾN THỨC Bài 1: Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh a, hình chiếu vuông góc của A’ lên mặt phẳng (ABC) trùng với trọng tâm O của tam giác ABC. Một mặt phẳng (P) chứa BC và vuông góc với AA’, cắt lăng trụ theo một thiết diện có diện tích bằng a2 3 . Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’. 8 Bài 2: Cho lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông tại A, AB = a, AC = a 3 , hình chiếu vuông góc của A’ trên mặt phẳng (ABC) trùng với trọng tâm G của tam giác ABC và góc giữa AA’ tạo với mặt phẳng (ABC) bằng 600. Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ và khoảng cách từ B’ đến mặt phẳng (A’BC). Bài 3: Cho hình lăng trụ ABC. A ' B ' C ' có A '. ABC là hình chóp tam giác đều, mặt phẳng ( A ' BC ) vuông góc với mặt phẳng (C ' B ' BC), AB = a. Tính theo a thể tích khối chóp A '.BCC ' B '. Bài 4: Cho lăng trụ ABCA′B′C ′ có đáy là tam giác ABC vuông cân tại A, BC = 2a, AA′ vuông góc với mặt phẳng (ABC). Góc giữa ( AB′C ) và ( BB′C ) bằng 600 . Tính thể tích lăng trụ ABCA′B′C ′ theo a. Bài 5: Cho hình lăng trụ ABC. A ' B ' C ' có AB ' = AC ' = a 2; A ' B ' = A ' C ' = a, khoảng cách từ A ' đến mặt phẳng ( AB ' C ') bằng a 3 . Tính góc giữa hai mặt phẳng ( AB ' C ') và ( A ' B ' C ') , biết thể tích của 3 khối lăng trụ ABC. A ' B ' C ' bằng a 3 15 . 9 Bài 6*: Cho lăng trụ ABC. A ' B ' C ' , biết A '. ABC là hình chóp đều có cạnh đáy bằng a. Góc giữa hai mặt phẳng ( A ' BC ) và ( BCC ' B ') bằng 900. Tính thể tích khối lăng trụ ABC. A ' B ' C ' và khoảng cách giữa hai đường thẳng AA ' và B ' C theo a. Bài 7: Cho khối lăng trụ tam giác ABC. A ' B ' C ' có đáy là tam giác đều cạnh a, điểm A ' cách đều ba điểm A, B, C. Góc giữa AA ' và mặt phẳng (ABC) bằng 600 . Tính thể tích khối lăng trụ ABC. A ' B ' C ' và khoảng cách giữa hai đường thẳng AB , CC’ theo a . Khóa học Luyện thi đại học – Luyện giải đề – Luyện thi cấp tốc www.moon.vn Luyện thi Đại học cấp tốc môn Toán Thầy Đặng Việt Hùng HƯỚNG DẪN GIẢI Bài 1: Gọi M là trung điểm của BC, gọi H là hình chiếu vuông góc của M lên AA’, Khi đó (P) ≡ (BCH). Do góc A ' AM nhọn nên H nằm giữa AA’. Thiết diện của lăng trụ cắt bởi (P) là tam giác BCH. Do tam giác a 3 2 a 3 ABC đều cạnh a nên AM = , AO = AM = C’ A’ 2 3 3 a2 3 1 a2 3 a 3 B’ ⇒ HM.BC = ⇒ HM = Theo bài ra S BCH = 8 2 8 4 H 3a 2 3a 2 3a AH = AM 2 − HM 2 = − \= 4 16 4 A' O HM Do hai tam giác A’AO và MAH đồng dạng nên \= A C AO AH O AO.HM a 3 a 3 4 a M suy ra A' O = \= \= AH 3 4 3a 3 B 1 1aa 3 a3 3 a= Thể tích khối lăng trụ: V = A' O.S ABC = A' O.AM.BC = 2 23 2 12 Bài 2: Gọi M là trung điểm BC. 2 3 2a 2a 3 ; A ' AG = 600 ⇒ A ' G = AG.t an600 = 3 3 1 1 2a 3 Thể tích V của khối lăng trụ được tính bởi V = S ABC . A ' G = AB. AC. A ' G = a.a 3. \= a 3 (đvtt) 2 2 3 Từ giả thiết ta có BC = 2a, AG = AI = Dựng AK ⊥ BC tại K và GI ⊥ BC tại I ⇒ GI // AK GI MG 1 1 1 AB. AC 1 a.a 3 a 3 ⇒ \= \= ⇒ CI = AK = . \= \= AK MA 3 3 3 BC 3 2a 6 Dựng GH ⊥ A’I tại H (1) Do BC ⊥ GI ⇒ BC ⊥ GH (2) . BC ⊥ A ' G Từ (1) và (2) ⇒ GH ⊥ (A’BC). Mặt khác nhận thấy AB’ cắt mp(A’BC) tại N là trung điểm của AB’. Từ đó d [ B ', ( A ' BC )] = d [ A, ( A ' BC )] = 3d [G, ( A ' BC )] = 3GH A ' G.GI \= 3. \= A' I 3. A ' G.GI A ' G 2 + GI 2 \= 3. 2a 3 a 3 . 3 6 = 6a = 2a 51 17 51 12a 2 3a 2
Bài 3: (Các em tự vẽ hình nhé) Gọi x là độ dài cạnh bên, O là tâm tam giác ABC, I và M lần lượt là trung điểm của BC và B’C’. Ta có A ' M = AI = a 3 a2 ; A ' I = x 2 − ; IM = x. 2 4 A ' I ⊥ BC ⇒ A ' I ⊥ (C ' B ' BC ) ⇒ A ' I ⊥ IM ( A ' BC ) ⊥ (C ' B ' BC ) a 2 3a 2 a Do đó: A ' I 2 + IM 2 = A ' M 2 ⇔ x 2 + x 2 − \= ⇔x= . 4 4 2 1 a3 VA '.BCC ' B ' = . A ' I .BC.IM = . 3 6 2 Bài 4: (Các em tự vẽ hình nhé) Khóa học Luyện thi đại học – Luyện giải đề – Luyện thi cấp tốc www.moon.vn Luyện thi Đại học cấp tốc môn Toán Thầy Đặng Việt Hùng + Ta tính được AA ' = BB ' = CC ' = a 2. 1 1 + S∆ABC = AI .BC = a.2a = a 2 2 2 + VABC A′B′C ′ = a 2.a 2 = a 3 2 Bài 5: + Đặt A ' I = x ⇒ B ' I 2 = 2a 2 − AI 2 = a 2 − x 2 ⇒ AI = a 2 + x 2 + A ' H = A ' I sin φ = x sin φ ⇒ x sin φ = a 3 3 + Ta có AK = AI sin φ = a 2 + x 2 sin φ ⇒ V = AK .S A ' B 'C ' ⇔ a4 − x4 . a 3 15 1 a 3 15 2 2 2 2 4 4 ⇔ \= a + x sin φ. x.2 a − x ⇔ a − x .( x sin φ) = 9 2 9 a 3 a 3 15 5 a 3 2 \= ⇒ a4 − x4 = a4 ⇒ = ⇒ sin φ = ⇒ φ = 450. 3 9 9 x 2 2 Bài 6: (Các em tự vẽ hình nhé) Gọi M , N , E lần lượt là trung điểm của AB, BC và B’C’; H = CM ∩ AN . Có H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác đều ABC. Từ A '. ABC là hình chóp đều ⇒ A ' H ⊥ ( ABC ) Góc giữa hai mặt phẳng ( A ' BC ) và ( BCC ' B ') bằng 900 ⇒ ( A ' BC ) ⊥ ( BCC ' B ') . Ta có A ' N ⊥ BC ⇒ A ' N ⊥ ( BCC ' B ') ⇔ A ' N ⊥ NE . • Đặt A 'A = A 'B = A 'C = x( x > 0) . a 2 NE = BB ' NE = AA ' A ' N 2 = A ' B 2 − BN 2 = x 2 − ; ⇒ ⇒ Tứ giác ANEA ' là hình bình 4 NE / / BB ' NE / / AA ' NE = x hành ⇒ a 3 A' E = 2 • Trong tam giác vuông A ' NE có 2 a 3 a2 a 2 A ' N + NE = A ' E ⇔ x − + x 2 = ⇔ 2 x2 = a2 ⇔ x = 2 4 2 2 2 2 2 Khóa học Luyện thi đại học – Luyện giải đề – Luyện thi cấp tốc www.moon.vn Luyện thi Đại học cấp tốc môn Toán Thầy Đặng Việt Hùng P = −3c + 96c − 384c + 512 − 3ab (8 − 2c) 3 2 ≤ −3c3 + 96c 2 − 384c + 512 − 3(7 − 2c)(8 − 2c ) ⇒ P ≤ −3c3 + 84c 2 − 294c + 344 a 6 a2 3 a3 2 Thể tích khối lăng trụ ABC. A' B ' C ' là V = A ' H .S ∆ABC = . \= 6 4 8 A ' A / / B ' B ⇒ A ' A / /( BCC ' B ') ⇒ d ( A ' A, B ' C ) = d ( A ' A, ( BCC ' B ') ) = d ( A, ( BCC ' B ') ) BC ⊥ AN • ⇒ BC ⊥ ( A ' AN ) ⇒ BC ⊥ AA ' ⇒ BC ⊥ BB ' ⇒ Tứ giác BCC ' B ' là hình chữ nhật BC ⊥ A ' N 1 1a 2 a2 2 ⇒ S ∆B ' BC = B ' B.BC = .a = 2 2 2 4 3 3V 1 a 2 1 • VB '. ABC = V = \= d ( A, ( BCB ') ) .S ∆B ' BC ⇒ d ( A, ( BCB ') ) = B '. ABC 3 24 3 S ∆B ' BC a3 2 a ⇒ d ( A, ( BCB ') ) = 28 = a 2 2 4 Bài 7: A' C' B' K C A H G G là trọng tâm ∆ ABC . Ta có A ' G ⊥ ( ABC ) và ( AA ';( ABC ) ) = A ' AG = 600 a 3 . Xét ∆A ' AG có A ' G = AG.tan 600 = a 3 a2 3 và S ABC = 4 a2 3 a3 3 Thể tích VABC . A ' B 'C ' = S ABC . A ' G = .a = 4 4 AG = B Kẻ CK ⊥ A ' H ⇒ CC '// AA ' ⇒ d ( CC ', AA ' ) = d ( CC ', ( AA ' B ' B ) ) = CK Ta có CK = A ' G.CH \= A' H a 3 a2 3 a 13 2 \= 2 = 13 A ' G 2 + HG 2 a 39 6 a. Khóa học Luyện thi đại học – Luyện giải đề – Luyện thi cấp tốc www.moon.vn |
