Biên độ cong là gì
Trong hình học, độ cong thể hiện sự lệch hướng tại một điểm trên đường cong, mặt cong hay không gian Riemann nói chung. Show
Mục lục
Độ cong của một đường congSửa đổiĐịnh nghĩaSửa đổiTheo Cauchy, tâm đường cong C tại một điểm là giao điểm của hai pháp tuyến vô cùng gần nhau, và bán kính cong R {\displaystyle R} là khoảng cách từ điểm đó đến C. Và độ cong κ {\displaystyle \kappa } chính là nghịch đảo của bán kính cong R {\displaystyle R} . κ = 1 R {\displaystyle \kappa ={\frac {1}{R}}} Gọi d s {\displaystyle ds} là độ dài dường cong mà 2 pháp tuyến cách nhau, và d ϕ {\displaystyle d\phi } là góc hợp bởi 2 pháp tuyến. Ta có định nghĩa khác về độ cong: κ = d ϕ d s {\displaystyle \kappa ={\frac {d\phi }{ds}}} Tính độ cong của một đường cong phẳngSửa đổiTrong hệ tọa độ DescartesSửa đổiXem thêm: Hệ tọa độ DescartesNếu đồ thị được cho dưới dạng hệ phương trình tham số { x = x ( t ) y = y ( t ) {\displaystyle {\begin{cases}x=x(t)\\y=y(t)\end{cases}}} , từ phần trên ta có định nghĩa: κ = d ϕ d s = d ϕ d t d s d t = d ϕ d t ( d x d t ) 2 + ( d y d t ) 2 = d ϕ d t x 2 + y 2 {\displaystyle \kappa ={\frac {d\phi }{ds}}={\dfrac {\dfrac {d\phi }{dt}}{\dfrac {ds}{dt}}}={\dfrac {\dfrac {d\phi }{dt}}{\sqrt {\left({\dfrac {dx}{dt}}\right)^{2}+\left({\dfrac {dy}{dt}}\right)^{2}}}}={\dfrac {\dfrac {d\phi }{dt}}{\sqrt {{x'}^{2}+{y'}^{2}}}}} d ϕ {\displaystyle d\phi } là góc hợp bởi 2 pháp tuyến, ta cũng có thể coi nó như góc lệch giữa 2 đường tiếp tuyến. Từ đó ta có thể định nghĩa ϕ {\displaystyle \phi } là góc tiếp tuyến của đường cong. tan ϕ = d y d x = d y d t d x d t = y x {\displaystyle \tan \phi ={\dfrac {dy}{dx}}={\dfrac {\dfrac {dy}{dt}}{\dfrac {dx}{dt}}}={\dfrac {y'}{x'}}} Lấy đạo hàm 2 vế theo tham số t {\displaystyle t} ta được: d d t ( tan ϕ ) = ( 1 + tan 2 ϕ ) d ϕ d t = x y y x x 2 {\displaystyle {\frac {d}{dt}}(\tan \phi )=\left(1+{\tan }^{2}\phi \right){\frac {d\phi }{dt}}={\dfrac {x'y''-y'x''}{{x'}^{2}}}} d ϕ d t = 1 1 + tan 2 ϕ x y y x x 2 = 1 1 + ( y x ) 2 x y y x x 2 = x y y x x 2 + y 2 {\displaystyle \Leftrightarrow {\frac {d\phi }{dt}}={\frac {1}{1+{\tan }^{2}\phi }}{\dfrac {x'y''-y'x''}{{x'}^{2}}}={\frac {1}{1+{\left({\dfrac {y'}{x'}}\right)^{2}}}}{\dfrac {x'y''-y'x''}{{x'}^{2}}}={\dfrac {x'y''-y'x''}{{x'}^{2}+{y'}^{2}}}} Kết hợp các kết quả thu được ta có: κ = x y y x ( x 2 + y 2 ) 3 / 2 {\displaystyle \kappa ={\dfrac {x'y''-y'x''}{\left({x'}^{2}+{y'}^{2}\right)^{3/2}}}} Nếu đồ thị được cho bởi một hàm số y = f ( x ) {\displaystyle y=f(x)} thì độ cong được tính như sau: κ = d 2 y d x 2 [ 1 + ( d y d x ) 2 ] 3 / 2 {\displaystyle \kappa ={\dfrac {\dfrac {d^{2}y}{dx^{2}}}{\left[1+\left({\dfrac {dy}{dx}}\right)^{2}\right]^{3/2}}}} Trong hệ tọa độ cựcSửa đổiXem thêm: Hệ tọa độ cựcNếu đồ thị được cho bởi một hàm số r = r ( θ ) {\displaystyle r=r(\theta )} thì độ cong được tính như sau: κ = r 2 + 2 ( d r d θ ) 2 r d 2 r d θ 2 [ r 2 + ( d r d θ ) 2 ] 3 / 2 {\displaystyle \kappa ={\dfrac {r^{2}+2\left({\dfrac {dr}{d\theta }}\right)^{2}-r{\dfrac {d^{2}r}{d\theta ^{2}}}}{\left[r^{2}+\left({\dfrac {dr}{d\theta }}\right)^{2}\right]^{3/2}}}} Ví dụSửa đổiĐường thẳngSửa đổiĐường thẳng { x = t y = a t + b {\displaystyle {\begin{cases}x=t\\y=at+b\end{cases}}} hay y = a x + b {\displaystyle y=ax+b} sẽ có độ cong được tính như sau: x = 1 , x = 0 , y = a , y = 0 , d y d x = a , d 2 y d x 2 = 0 {\displaystyle x'=1,\quad x''=0,\quad y'=a,\quad y''=0,\quad {\dfrac {dy}{dx}}=a,\quad {\dfrac {d^{2}y}{dx^{2}}}=0} Áp dụng công thức ta có: κ = x y y x ( x 2 + y 2 ) 3 / 2 = 1 0 a 0 ( 1 2 + a 2 ) 3 / 2 = 0 {\displaystyle \kappa ={\dfrac {x'y''-y'x''}{\left({x'}^{2}+{y'}^{2}\right)^{3/2}}}={\dfrac {1\cdot 0-a\cdot 0}{\left({1}^{2}+{a}^{2}\right)^{3/2}}}=0} hay công thức: κ = d 2 y d x 2 [ 1 + ( d y d x ) 2 ] 3 / 2 = 0 [ 1 + a 2 ] 3 / 2 = 0 {\displaystyle \kappa ={\dfrac {\dfrac {d^{2}y}{dx^{2}}}{\left[1+\left({\dfrac {dy}{dx}}\right)^{2}\right]^{3/2}}}={\dfrac {0}{\left[1+a^{2}\right]^{3/2}}}=0} Vậy độ cong của một đường thẳng bằng 0. Đường trònSửa đổiĐường tròn { x = R cos t y = R sin t {\displaystyle {\begin{cases}x=R\cos t\\y=R\sin t\end{cases}}} hay r = R {\displaystyle r=R} sẽ có độ cong được tính như sau: x = R sin t , x = R cos t , y = R cos t , y = R sin t , d r d θ = 0 , d 2 r d θ 2 = 0 {\displaystyle x'=-R\sin t,\quad x''=-R\cos t,\quad y'=R\cos t,\quad y''=-R\sin t,\quad {\dfrac {dr}{d\theta }}=0,\quad {\dfrac {d^{2}r}{d\theta ^{2}}}=0} Áp dụng công thức ta có: κ = x y y x ( x 2 + y 2 ) 3 / 2 = ( R sin t ) ( R sin t ) ( R cos t ) ( R cos t ) [ ( R sin t ) 2 + ( R cos t ) 2 ] 3 / 2 = 1 R {\displaystyle \kappa ={\dfrac {x'y''-y'x''}{\left({x'}^{2}+{y'}^{2}\right)^{3/2}}}={\dfrac {(-R\sin t)\cdot (-R\sin t)-(R\cos t)\cdot (-R\cos t)}{\left[{(-R\sin t)}^{2}+{(R\cos t)}^{2}\right]^{3/2}}}={\frac {1}{R}}} hay công thức: κ = r 2 + 2 ( d r d θ ) 2 r d 2 r d θ 2 [ r 2 + ( d r d θ ) 2 ] 3 / 2 = R 2 + 2 0 2 R 0 [ R 2 + 0 2 ] 3 / 2 = 1 R {\displaystyle \kappa ={\dfrac {r^{2}+2\left({\dfrac {dr}{d\theta }}\right)^{2}-r{\dfrac {d^{2}r}{d\theta ^{2}}}}{\left[r^{2}+\left({\dfrac {dr}{d\theta }}\right)^{2}\right]^{3/2}}}={\dfrac {R^{2}+2\cdot 0^{2}-R\cdot 0}{\left[R^{2}+0^{2}\right]^{3/2}}}={\frac {1}{R}}} Vậy độ cong của một đường tròn là nghịch đảo bán kính của nó. Các đường khácSửa đổi
Áp dụng công thức ta có: κ = d 2 y d x 2 [ 1 + ( d y d x ) 2 ] 3 / 2 = 2 a [ 1 + ( 2 a x ) 2 ] 3 / 2 = 2 a ( 1 + 4 a 2 x 2 ) 3 / 2 {\displaystyle \kappa ={\dfrac {\dfrac {d^{2}y}{dx^{2}}}{\left[1+\left({\dfrac {dy}{dx}}\right)^{2}\right]^{3/2}}}={\dfrac {2a}{\left[1+(2ax)^{2}\right]^{3/2}}}={\dfrac {2a}{\left(1+4a^{2}x^{2}\right)^{3/2}}}}
Áp dụng công thức ta có: κ = x y y x ( x 2 + y 2 ) 3 / 2 = ( a sin t ) ( b sin t ) ( b cos t ) ( a cos t ) [ ( a sin t ) 2 + ( b cos t ) 2 ] 3 / 2 {\displaystyle \kappa ={\dfrac {x'y''-y'x''}{\left({x'}^{2}+{y'}^{2}\right)^{3/2}}}={\dfrac {(-a\sin t)\cdot (-b\sin t)-(b\cos t)\cdot (-a\cos t)}{\left[{(-a\sin t)}^{2}+{(b\cos t)}^{2}\right]^{3/2}}}} = a b [ ( a y b ) 2 + ( b x a ) 2 ] 3 / 2 = a b [ a 2 ( 1 x 2 a 2 ) + b 2 a 2 x 2 ] 3 / 2 {\displaystyle ={\frac {ab}{\left[\left({\dfrac {ay}{b}}\right)^{2}+\left({\dfrac {bx}{a}}\right)^{2}\right]^{3/2}}}={\frac {ab}{\left[a^{2}\left(1-{\dfrac {x^{2}}{a^{2}}}\right)+{\dfrac {b^{2}}{a^{2}}}x^{2}\right]^{3/2}}}} = a b [ a 2 ( 1 b 2 a 2 ) x 2 ] 3 / 2 = a b ( a 2 e 2 x 2 ) 3 / 2 {\displaystyle ={\frac {ab}{\left[a^{2}-\left(1-{\dfrac {b^{2}}{a^{2}}}\right)x^{2}\right]^{3/2}}}={\frac {ab}{\left(a^{2}-e^{2}x^{2}\right)^{3/2}}}} với e = 1 b 2 a 2 {\displaystyle e={\sqrt {1-{\dfrac {b^{2}}{a^{2}}}}}} là tâm sai của ellipse. Độ cong của một đường cong ghềnhSửa đổiĐộ cong của một đường cong ghềnh (trong không gian 3 chiều) có hệ phương trình tham số trong hệ tọa độ Descartes { x = x ( t ) y = y ( t ) z = z ( t ) {\displaystyle {\begin{cases}x=x(t)\\y=y(t)\\z=z(t)\end{cases}}} được tính theo công thức κ = ( z y y z ) 2 + ( x z z x ) 2 + ( y x x y ) 2 ( x 2 + y 2 + z 2 ) 3 / 2 {\displaystyle \kappa ={\frac {\sqrt {(z''y'-y''z')^{2}+(x''z'-z''x')^{2}+(y''x'-x''y')^{2}}}{(x'^{2}+y'^{2}+z'^{2})^{3/2}}}} Độ cong của một mặt congSửa đổiĐộ cong GaussSửa đổiBài chi tiết: Độ cong GaussĐộ cong trung bìnhSửa đổiĐộ cong của một không gianSửa đổiTenxơ độ cong RiemannSửa đổiTenxơ độ cong RicciSửa đổiLà 1 tensor ở trong phương trình trường Eisntein Xem thêmSửa đổi
Tham khảoSửa đổiJohn M. Lee, Introduction to Riemannian manifolds Video liên quan |