Công thức nhanh thể tích tứ diện đều
|
Trường THPT Trịnh Hoài Đức - Trường Trung Học Chất Lượng Cao Show Địa chỉ: DT745, Thạnh Lợi, An Thạnh, Thuận An, Bình Dương Điện thoại: 0650.825477 Website: https://thpttrinhhoaiduc.edu.vn/
Tóm lược bài giảng và suy ra công thức dễ hiểu tính thể tích của 5 khối đa diện đều: tứ diện đều, khối lập phương, bát diện đều, khối 12 mặt đều và khối 20 mặt đều
Tóm lược bài giảng và suy ra công thức dễ hiểu tính thể tích của 5 khối đa diện đều: tứ diện đều, khối lập phương, bát diện đều, khối 12 mặt đều và khối 20 mặt đều
 1. Tứ diện $ABCD$ đều cạnh $a$. Ta có $S=\frac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4}$ và $h=AO=\sqrt{A{{B}^{2}}-O{{B}^{2}}}=\sqrt{{{a}^{2}}-{{\left( \frac{2}{3}.\frac{a\sqrt{3}}{2} \right)}^{2}}}=\frac{a\sqrt{6}}{3}$. Do đó $V=\frac{1}{3}Sh=\frac{1}{3}.\frac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4}.\frac{a\sqrt{6}}{3}=\frac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{12}$. 2. Hình lập phương cạnh $a$. Khối lập phương có thể tích $V={{a}^{3}}$. 3. Khối bát diện đều $ABCDEF$ cạnh $a$, ta có ${{S}_{ABCD}}={{a}^{2}}$ và $EF=2EO=2\sqrt{B{{E}^{2}}-B{{O}^{2}}}=2\sqrt{{{a}^{2}}-{{\left( \frac{a\sqrt{2}}{2} \right)}^{2}}}=a\sqrt{2}$. Do đó $V=\frac{1}{3}{{S}_{ABCD}}.EF=\frac{1}{3}.{{a}^{2}}.a\sqrt{2}=\frac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{3}$. 4. Khối 12 mặt đều cạnh $a$ Gọi $O$ là tâm mặt cầu ngoại tiếp đa diện 12 mặt đều, xét 3 mặt phẳng chung đỉnh $A$ là $ABEFC,\,ACGHD,\,ABJID$. Khi đó $A.BCD$ là chóp tam giác đều và $OA$ vuông góc với mặt phẳng $\left( BCD \right)$ tại tâm ngoại tiếp H của tam giác $BCD$. Theo định lí hàm số côsin ta có $BC=CD=BD=\sqrt{{{a}^{2}}+{{a}^{2}}-2a.a.\cos \left( \frac{3\pi }{5} \right)}=\frac{1+\sqrt{5}}{2}a.$ Do đó $AH=\sqrt{A{{B}^{2}}-{{\left( \frac{2}{3}.\frac{BC\sqrt{3}}{2} \right)}^{2}}}=\sqrt{{{a}^{2}}-{{\left( \frac{1+\sqrt{5}}{2\sqrt{3}}a \right)}^{2}}}=\frac{\sqrt{5}-1}{2\sqrt{3}}a.$ Gọi $M$ là trung điểm cạnh $AB$, ta có hai tam giác vuông $AHB$∽$AMO$, do đó $\frac{AO}{AB}=\frac{AM}{AH}\Rightarrow R=AO=\frac{A{{B}^{2}}}{2AH}=\frac{{{a}^{2}}}{2.\frac{\sqrt{5}-1}{2\sqrt{3}}a}=\frac{a\sqrt{3}}{\sqrt{5}-1}$. Ta có thể tích khối đa diện 12 mặt đều bằng tổng thể tích của 12 khối chóp ngũ giác đều cạnh đáy bằng $a$, cạnh bên bằng $R=\frac{a\sqrt{3}}{\sqrt{5}-1}$. Từ đó dễ có $V=\frac{{{a}^{3}}\left( 15+7\sqrt{5} \right)}{4}$. * Chú ý. Có thể tính nhanh bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối đa diện đã cho (cũng chính là bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $A.BCD$) bằng cách áp dụng công thức $R=OA=\frac{A{{B}^{2}}}{2\sqrt{A{{B}^{2}}-R_{BCD}^{2}}}$ 5. Khối đa diện đều 20 mặt đều cạnh $a$, bằng cách thực hiện tương tự như khối đa diện 12 mặt đều ta có công thức xác định thể tích là $V=\frac{5\left( 3+\sqrt{5} \right){{a}^{3}}}{12}$. * Chú ý. Khối 12 mặt đều, khối 20 mặt đều chỉ để tham khảo; các em không nên sa đà vào các bài toán loại này. * Khối 12 mặt đều hoặc 20 mặt đều việc xác định bán kính mặt cầu ngoại tiếp hoặc thể tích các em chỉ tham khảo, không nên quan tâm đến các câu hỏi loại này trong đề thi vì nó không phù hợp. Bài viết gợi ý:
Thể tích tứ diện đều được tính như thế nào? Có công thức không? Bài viết dưới tôi sẽ hưóng dẫn các bạn tìm hiểu khái niệm tứ diện điều và các vấn đề liên quan. Hãy cũng theo dõi bài viết nhé! I. TỨ DIỆN ĐỀU LÀ GÌTrước hết, chúng ta cùng nhắc lại khái niệm khối tứ diện. Cụ thể, trong không gian cho 4 điểm không đồng phẳng A, B, C, D. Khối đa diện có 4 đỉnh A, B, C, D gọi là khối tứ diện. Ký hiệu là ABCD. Đang xem: Công thức tính nhanh thể tích tứ diện đều Đặc biệt nếu khối tứ diện có tất cả các mặt là tam giác đều. Thì khối tứ diện đó gọi là khối tứ diện đều. II. THỂ TÍCH KHỐI TỨ DIỆN ĐỀU CẠNH aTứ diện đều cạnh a là tứ diện có tất cả các cạnh bằng a. Khi giải toán liên quan đến tứ diện đều chúng ta cần lưu ý cách vẽ hình. Cụ thể cách vẽ tứ diện đều ABCD ta thực hiện theo các bước sau: Coi hình tứ diện đều là một hình chóp tam giác đều. Chẳng hạn A.BCD.Vẽ mặt là mặt đáy. Chẳng hạn là mặt BCD.Vẽ một đường trung tuyến của mặt đáy BCD. Chẳng hạn BM là trung tuyến của tam giác BCD.Xác định trọng tâm G của tam giác BCD. Và G chính là tâm của đáy.Dựng đường cao (đường thẳng đi qua G song song với mép bên vở hoặc tờ giấy của các bạn).Xác định điểm A trên đường vừa dựng và hoàn thiện hình. Xem thêm: Họ Triệu Đặt Tên Cho Con Trai Họ Triệu Đặt Tên Con Trai Là Gì Sẽ Hay Các Mom Bài toán: Tính thể tích khối tứ diện đều cạnh a. Lời giải: Giả sử ABCD là khối tứ diện đều cạnh a. G là trọng tâm tam giác BCD (hình trên). Xem thêm: Đặt Tên Ở Nhà Cho Con Trai Và Bé Gái Năm 2021, 100 Tên Ở Nhà Hay Cho Bé Trai Và Bé Gái Năm 2021 Tóm lại, thể tích tứ diện đều cạnh a được tính theo công thức: Ví dụ: Tính thể tích khối tứ dιện đều có cạnh bằng 2a. Lời giải: Thay 2a vào công thức ta được: Trên đây là 1 số kiến thức về tính chất của tứ diện đều mà doanhnhan.edu.vn gửi đến các bạn. Các bạn hãy ghi nhớ công thức tính thể tích tứ dιện đều để vận dụng vào giải bài tập nhé. Chúc các bạn thành công! Xem thêm bài viết thuộc chuyên mục: Diện Tích Trong chương trình toán hình học lớp 12 và nội dung của kỳ thi THPT Quốc Gia. Thì các kiến thức về khối đa diện là rất quan trọng và chiếm một phần kiến thức rất lớn. Trong phạm trù kiến thức về khối đa diện thì việc tính thể tích tứ diện đều là một nội dung không thể nào bỏ qua. Hiểu được tầm quan trọng của nó, ngay sau đây ITQNU xin được chia sẻ đến các bạn học sinh những kiến thức về tứ diện đều. Cũng như các cách tính thể tích tứ diện đều một cách chính xác nhất. Khái niệm về tứ diện và tứ diện đềuĐầu tiên chúng ta sẽ phân ra 2 định nghĩa riêng biệt. Bao gồm khái niệm về hình tứ diện và hình tứ diện đều. Do đó, để giúp các bạn có thể hiểu chính xác hơn. Thì chúng ta sẽ đi định nghĩa từng loại hình sau đây: 1. Tứ diện là gì?Hình tứ diện là hình có bốn đỉnh và thường được đặt với ký hiệu là A, B, C, D. Trong đó, với bất kỳ điểm nào trong số các điểm A, B, C, D cũng được xem là đỉnh của tứ diện. Mặt tam giác đối diện với đỉnh sẽ được gọi là mặt đáy. Ví dụ, nếu chọn B là đỉnh của tứ diện thì mặt đáy sẽ là (ACD). Hay còn hiểu theo một cách gắn gọn khác thì trong không gian nếu cho 4 điểm không đồng phẳng gồm A, B, C, D. Thì khi đó khối đa diện có 4 đỉnh A, B, C, D gọi là khối tứ diện. Và được ký hiệu là ABCD. 2. Tứ diện đều là gì?Nếu một hình tứ diện có các mặt bên là các tam giác đều thì đây được gọi là hình tứ diện đều. Và tứ diện đều được xem là một trong 5 khối đa diện đều. Các tính chất của tứ diện đềuTứ diện đều có các tính chất như sau:
Cách vẽ hình tứ diện đềuBất kỳ khi giải một bài toán liên quan tới hình tứ diện đều nào cũng vậy. Điều quan trọng nhất là chúng ta phải vẽ chính xác hình tứ diện đều. Từ đó chúng ta mới có một cái hình tổng thể và đưa ra các phương pháp giải chính xác nhất. Và sau đây sẽ là cách vẽ hình tứ diện đều chi tiết nhất:
Sau khi các bạn đã biết cách vẽ hình tứ diện đều rồi. Thì tiếp theo bài học chúng ta sẽ cùng nhau tìm hiểu về công thức tính thể tích tứ diện đều nhé. Công thức tính thể tích tứ diện đều cạnh aMột tứ diện đều sẽ có 6 cạnh bằng nhau và 4 mặt tam giác đều sẽ có các công thức tính thể tích như sau:
Ví dụ minh họa Tính thể tích khối tứ diện đều cạnh a. Lời giả: Giả sử ABCD là khối tứ diện đều cạnh a. G là trọng tâm tam giác BCD (hình trên). Cuối cùng tổng kết lại thì để tính thể tích tứ diện đều cạnh a. Thì ta sẽ có công thức sau đây:\ Các dạng bài tập mẫu về tứ diện đềuQuy tắc tìm các mặt phẳng đối xứng. Trong tứ diện đều, do có tính chất đối xứng nhau. Do đó ta cứ đi từ trung điểm các cạnh ra mà tìm. Nếu bạn chọn một mặt phẳng đối xứng, hãy đảm bảo rằng các điểm còn lại được chia đều về hai phía Ví dụ 1: tìm số mặt phẳng đối xứng của hình tứ diện đều. Lời giải: Các mặt phẳng đối xứng của hình tứ diện đều là các mặt phẳng chứa một cạnh và qua trung điểm cạnh đối diện. Vì vậy, hình tứ diện đều sẽ có 6 mặt phẳng đối xứng. Ví dụ 2: Cho hình chóp đều S.ABCD (đáy là hình vuông), đường SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Xác định hình chóp này có mặt đối xứng nào. Lời giải: Ta có: BD vuông góc với AC, BD vuông góc với SA. Suy ra, BD vuông góc với (SAC). Từ đó ta suy ra (SAC) là mặt phẳng trung trực của BD. Ta kết luận rằng, (SAC) là mặt đối xứng của hình chóp và đây là mặt phẳng duy nhất. Tổng kếtNhư vậy, ITQNU vừa chia sẻ đến bạn kiến thức về tứ diện đều. Cũng như cách tính thể tích tứ diện đều. Trong chương trình toán hình học lớp 12 và nội dung của kỳ thi THPT Quốc Gia. Thì kiến thức về tứ diện đều là quan trọng. Hy vọng qua bài viết, các bạn học sinh có thêm nhiều kiến thức về tứ diện đều. |
