Đề bài - bài 1.57 trang 18 sbt đại số và giải tích 11 nâng cao

Đề bài

Trong khoảng\(\left( {0;{\pi \over 2}} \right),\)phương trình\({\sin ^2}4x + 3\sin 4x\cos 4x - 4{\cos ^2}4x = 0\)có:

(A) 1 nghiệm (B) 2 nghiệm

(C) 3 nghiệm (D) 4 nghiệm

Lời giải chi tiết

Chọn phương án (D)

Đặt \(y = 4x\) ta có \(0 < x < {\pi \over 2} \Rightarrow 0 < y < 2\pi .\)

Phương trình đã cho trở thành:

\({\sin ^2}y + 3\sin y\cos y - 4{\cos ^2}y = 0\)

Nếu \(\cos y = 0 \Leftrightarrow y = \frac{\pi }{2} + k\pi \) thì \({\sin ^2}y = 1\), thay vào phương trình trên ta được:

\(1 + 3.0 - 4.0 = 1 \ne 0\) nên \(y = \frac{\pi }{2} + k\pi \) không thỏa mãn phương trình.

Chia cả hai vế của phương trình cho \({\cos ^2}y \ne 0\) ta được:

\({\tan ^2}y + 3\tan y - 4 = 0\)

\( \Leftrightarrow \)\(\left[ \matrix{
\tan y = 1 \hfill \cr
\tan y = - 4 \hfill \cr} \right.\)

Trong khoảng \(\left( {0;2\pi } \right),\) mỗi phương trình \(\tan y = 1\) và \(\tan y = - 4\) đều có hai nghiệm.

Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm trong khoảng đang xét.