Đề bài - bài 160 trang 100 sbt toán 8 tập 1

Đề bài

Cho tứ giác ABCD. Gọi E, F, G, H theo thứ tự là trung điểm của AB, AC, DC, DB. Tìm điều kiện của tứ giác ABCD để EFGH là:

a. Hình chữ nhật

b. Hình thoi

c. Hình vuông

Lời giải chi tiết

Xét tam giác ABC:

Ta có: EB = EA, FA = FC (gt)

Nên EF là đường trung bình của tam giác ABC

Suy ra EF // BC, EF = \(\displaystyle {1 \over 2}\)BC (tính chất)

Xét tam giác BDC có:

HB = HD, GD = GC (gt)

Nên HG là đường trung bình của tam giác BDC

Suy ra HG // BC, HG = \(\displaystyle{1 \over 2}\)BC(tính chất)

Do đó EF //HG, EF = HG.

Vậy EFGH là hình bình hành.

Xét tam giác ABD:

Ta có: EB = EA, HB = HD (gt)

Nên EH là đường trung bình của tam giác ABD

Suy ra EH // AD, EH = \(\displaystyle {1 \over 2}AD\) (tính chất)

a) Hình bình hành EFGH là hình chữ nhật EH EF

MàEF // BC và EH//AD (chứng minh trên)

Do đó \(EH EF AD BC \)

Hay đểEFGH là hình chữ nhật thì \(AD BC \)

b) Hình bình hành EFGH là hình thoi EH = EF

MàEH = \(\displaystyle {1 \over 2}AD\) vàEF = \(\displaystyle {1 \over 2}\)BC (chứng minh trên)

Nên \(EH = EF AD = BC\)

VậyEFGH là hình thoi AD = BC.

c)EFGH là hình vuông khi EFGH vừa là hình thoi, vừa là hình chữ nhật

Từ câu a, b ta có EFGH là hình vuông AD BC và AD = BC