Đề bài - bài 2.16 trang 60 sbt hình học 12
b) \(\widehat {BAC} = {60^0}\) và b = c, khi đó ABC là tam giác đều cạnh b. Gọi I là trọng tâm của tam giác đều nên I đồng thời cũng là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác đều ABC. Dựng d là đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (ABC) tại I. Mặt phẳng trung trực của đoạn SA cắt d tại O. Đề bài Cho tứ diện SABC có cạnh SA vuông góc với mặt phẳng (ABC) và có SA = a, AB = b , AC = c . Xác định tâm và bán kính hình cầu ngoại tiếp tứ diện trong các trường hợp sau: a) \(\widehat {BAC} = {90^0}\) b) \(\widehat {BAC} = {60^0}\)và \(b = c\) c) \(\widehat {BAC} = {120^0}\)và \(b = c\) Phương pháp giải - Xem chi tiết - Dựng tâm hình cầu (giao điểm của trục đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC và trung trực của đoạn thẳng SA) - Tính bán kính dựa vào các kiến thức hình học đã biết. Lời giải chi tiết \(\widehat {BAC} = {90^0}\). Gọi M là trung điểm của BC, ta có MA = MB = MC. Dựng đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (ABC) tại M. Mặt phẳng trung trực của đoạn SA cắt d tại O. Ta có OS = OA = OB = OC Và \({r^2} = O{A^2} = O{M^2} + M{A^2} = {({a \over 2})^2} + {({b \over 2})^2} + {({c \over 2})^2}\) Do đó ta có hình cầu tâm O ngoại tiếp tứ diện và có \(r = {1 \over 2}\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \) b) \(\widehat {BAC} = {60^0}\) và b = c, khi đó ABC là tam giác đều cạnh b. Gọi I là trọng tâm của tam giác đều nên I đồng thời cũng là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác đều ABC. Dựng d là đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (ABC) tại I. Mặt phẳng trung trực của đoạn SA cắt d tại O. Ta có OS = OA = OB = OC và r2= OA2= OI2+ IA2 Do đó ta có hình cầu tâm O ngoại tiếp tứ diện và có \({r^2} = {({a \over 2})^2} + {({2 \over 3}b{{\sqrt 3 } \over 2})^2} = {{{a^2}} \over 4} + {{{b^2}} \over 3}\). Vậy \(r = \sqrt {{{{a^2}} \over 4} + {{{b^2}} \over 3}} \) c) \(\widehat {BAC} = {120^0}\) và b = c, khi đó ABC là một tam giác cân có góc A ở đỉnh bằng 1200và cạnh bên bằng b. Gọi M là trung điểm của cạnh BC. Kéo dài AM một đoạn MK = AM, ta có KA = KB = KC = AB = AC = b. Dựng đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (ABC) tại K. Mặt phẳng trung trực của đoạn SA cắt d tại O. Ta có: OS = OA = OB = OC và\({r^2} = O{A^2} = O{K^2} + K{A^2} = {({a \over 2})^2} + {b^2}\) Do đó ta có mặt cầu tâm O ngoại tiếp tứ diện và có bán kính\(r = \sqrt {{{{a^2}} \over 4} + {b^2}} \)
|