Đề bài - bài 2.22 trang 92 sbt hình học 10
|
Cho tứ giác ABCD có hai đường chéo AC và BD vuông góc với nhau và cắt nhau tại M. Gọi P là trung điểm của cạnh AD. Chứng minh rằng MP vuông góc với BC khi và chỉ khi \(\overrightarrow {MA} .\overrightarrow {MC} = \overrightarrow {MB} .\overrightarrow {MD} \). Đề bài Cho tứ giác ABCD có hai đường chéo AC và BD vuông góc với nhau và cắt nhau tại M. Gọi P là trung điểm của cạnh AD. Chứng minh rằng MP vuông góc với BC khi và chỉ khi \(\overrightarrow {MA} .\overrightarrow {MC} = \overrightarrow {MB} .\overrightarrow {MD} \). Phương pháp giải - Xem chi tiết Sử dụng điều kiện \(MP \bot BC \Leftrightarrow \overrightarrow {MP} .\overrightarrow {BC} = 0\). Xen điểm thích hợp, biến đổi biểu thức tích vô hướng \(\overrightarrow {MP} .\overrightarrow {BC} = 0\) và kết luận. Lời giải chi tiết Ta có: \(2\overrightarrow {MP} .\overrightarrow {BC} = (\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MD} )(\overrightarrow {MC} - \overrightarrow {MB} )\) =\(\overrightarrow {MA} .\overrightarrow {MC} - \underbrace {\overrightarrow {MA} .\overrightarrow {MB} }_0 + \underbrace {\overrightarrow {MD} .\overrightarrow {MC} }_0 - \overrightarrow {MD} .\overrightarrow {MB} \) =\(\overrightarrow {MA} .\overrightarrow {MC} - \overrightarrow {MD} .\overrightarrow {MB} \). Do đó \(\overrightarrow {MP} \bot \overrightarrow {BC} \Leftrightarrow \overrightarrow {MP} .\overrightarrow {BC} = \overrightarrow 0 \)\( \Leftrightarrow \overrightarrow {MA} .\overrightarrow {MC} = \overrightarrow {MD} .\overrightarrow {MB} \)
|
