Đề bài - bài 34 trang 42 sbt toán 7 tập 2

Đề bài

Gọi\(\displaystyleG\) là trọng tâm của tam giác\(\displaystyleABC.\)Vẽ điểm\(\displaystyleD\)sao cho\(\displaystyleG\)là trung điểm của\(\displaystyleAD.\)Chứng minh rằng:

a) Các cạnh của tam giác\(\displaystyleBGD\)bằng\(\displaystyle\displaystyle {2 \over 3}\)các đường trung tuyến của tam giác\(\displaystyleABC\)

b) Các đường trung tuyến của tam giác\(\displaystyleBGD\)bằng một nửa các cạnh của tam giác\(\displaystyleABC.\)

Lời giải chi tiết

a) Gọi\(\displaystyleAM, BN, CP\) là các đường trung tuyến của\(\displaystyleABC\) cắt nhau tại\(\displaystyleG.\)

Vì\(\displaystyleAG = GD\) (vì G là trung điểm của AD)

Mà\(\displaystyleAG = 2GM\) (suy ra từ tính chất đường trung tuyến)

Nên\(\displaystyleGD = 2GM\)

Lại có\(\displaystyleGD = GM + MD\)

Suy ra:\(\displaystyleGM = MD\)

Xét\(\displaystyleBMD\) và\(\displaystyleCMG:\)

+)\(\displaystyleBM = CM\) (gt)

+)\(\displaystyle\widehat {BM{\rm{D}}} = \widehat {CMG}\)(đối đỉnh)

+)\(\displaystyleMD = GM\) (chứng minh trên)

Do đó:\(\displaystyleBMD = CMG\) (c.g.c)

\(\displaystyle\Rightarrow BD = CG\)

Mà\(\displaystyleCG = {2 \over 3}CP\)(tính chất đường trung tuyến)

Suy ra:\(\displaystyleB{\rm{D = }}{2 \over 3}CP\) (1)

\(\displaystyleBG = {2 \over 3}BN\)(tính chất đường trung tuyến) (2)

\(\displaystyle{\rm{A}}G = {2 \over 3}AM\)(tính chất đường trung tuyến)

Suy ra:\(\displaystyleG{\rm{D}} = {2 \over 3}AM\) (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra các cạnh của\(\displaystyleBGD\) bằng\(\displaystyle{2 \over 3}\)các đường trung tuyến của\(\displaystyleABC.\)

b) * Vì\(\displaystyleGM = MD\) (chứng minh trên) nên\(\displaystyleBM\) là đường trung tuyến của\(\displaystyleBGD\)

Ta có \(\displaystyleBM = {1 \over 2}BC\) (4) (vì M là trung điểm BC)

* Kẻ đường trung tuyến\(\displaystyleGE\) và\(\displaystyleDF\) của\(\displaystyleBGD\)

\(\displaystyle\Rightarrow FG = {1 \over 2}BG\)(vì F là trung điểm BG)

\(\displaystyleGN = {1 \over 2}BG\)(tính chất đường trung tuyến)

Nên\(\displaystyleFG = GN\)

Xét\(\displaystyleDFG\) và\(\displaystyleANG:\)

+)\(\displaystyleAG = GD\) (gt)

+)\(\displaystyle\widehat {DGF} = \widehat {AGN}\)(đối đỉnh)

+)\(\displaystyleGF = GN\) (chứng minh trên)

Do đó\(\displaystyleDFG = ANG\) (c.g.c)

\(\displaystyle\Rightarrow DF = AN \)

Mà\(\displaystyleAN = {1 \over 2}AC\)(gt)

Suy ra:\(\displaystyle{\rm{D}}F = {1 \over 2}AC\) (5)

* Ta có\(\displaystyleBD = CG\) (chứng minh câu a)

Mà\(\displaystyle{\rm{ED}} = {1 \over 2}B{\rm{D}}\)(vì\(\displaystyleE\) là trung điểm\(\displaystyleBD)\)

\(\displaystyleGP = {1 \over 2}CG\)(tính chất đường trung tuyến)

Suy ra:\(\displaystyleED = GP\)

Lại có\(\displaystyleBDM = CGM\) (chứng minh trên)

\(\displaystyle\Rightarrow \widehat {B{\rm{D}}M} = \widehat {CGM}\)hay\(\displaystyle\widehat {E{\rm{D}}G} = \widehat {CGM}\)

Mà\(\displaystyle\widehat {CGM} = \widehat {PGA}\)(đối đỉnh)

Suy ra:\(\displaystyle\widehat {{\rm{ED}}G} = \widehat {PGA}\)

Lại có:\(\displaystyleAG = GD\) (gt) và\(\displaystyleED = GP\) (cmt)

Suy ra:\(\displaystylePGA = EDG\) (c.g.c)

\(\displaystyle\Rightarrow GE = AP\) mà \(\displaystyleAP = \dfrac{1}{2}AB\)

Suy ra:\(\displaystyleGE = {1 \over 2}AB\) (6)

Từ (4),(5) và (6) suy ra các đường trung tuyến của\(\displaystyleBGD\) bằng một nửa cạnh của\(\displaystyleABC.\)