Đề bài
Cho tam giác đều ABC có cạnh bằng 6 cm.
a] Nêu cách vẽ đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
b] Nêu cách vẽ đường tròn nội tiếp tam giác ABC
c] Tính bán kính R và r của đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp tam giác ABC.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Tam giác ABC đều nên trọng tâm đồng thời là tâm đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp tam giác ABC.
Lời giải chi tiết
a] Xác định trọng tâm O của tam giác ABC, do tam giác ABC đều nên O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
Vẽ đường tròn tâm O bán kính OA.
b] Gọi H là chân đường cao hạ từ A xuống BC. Vẽ đường tròn tâm O bán kính OH, đó là đường tròn nội tiếp tam giác ABC.
c] \[R = OA;\,\,r = OH\].
Gọi H là trung điểm của BC \[ \Rightarrow BH = \dfrac{{BC}}{2} = \dfrac{a}{2}\] và \[AH \bot BC\] [trung tuyến đồng thời là đường cao].
Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông ABH có:
\[A{H^2} = A{B^2} - B{H^2} = {a^2} - {\left[ {\dfrac{a}{2}} \right]^2} = \dfrac{{3{a^2}}}{4} \]\[\;\Rightarrow AH = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}\]
Do O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC đồng thời là trọng tâm \[ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}OA = \dfrac{2}{3}AH = \dfrac{2}{3}\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2} = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{3} \Rightarrow R = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{3}\\OH = \dfrac{1}{3}AH = \dfrac{1}{3}\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2} = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{6} \Rightarrow r = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{6}\end{array} \right.\].