Đề bài - bài 52 trang 135 sgk đại số 10 nâng cao
\(\begin{array}{l}f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c\\= a\left( {{x^2} + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a}} \right)\\ = a\left( {{x^2} + 2.\frac{b}{{2a}}.x + \frac{{{b^2}}}{{4{a^2}}} + \frac{c}{a} - \frac{{{b^2}}}{{4{a^2}}}} \right)\\ = a\left[ {{{\left( {x + \frac{b}{{2a}}} \right)}^2} - \frac{{{b^2} - 4ac}}{{4{a^2}}}} \right]\\ = a\left[ {{{\left( {x + \frac{b}{{2a}}} \right)}^2} - \frac{\Delta }{{4{a^2}}}} \right]\\ \Rightarrow af\left( x \right) = {a^2}\left[ {{{\left( {x + \frac{b}{{2a}}} \right)}^2} - \frac{\Delta }{{4{a^2}}}} \right]\end{array}\) Đề bài Chứng minh định lý về dấu của tam thức bậc 2. Phương pháp giải - Xem chi tiết Hướng dẫn: Với các trường hợp Δ < 0 và Δ = 0, sử dụng hệ thức đã biết: \(f(x) = a{\rm{[(x}}\,{\rm{ + }}{b \over {2a}}{)^2} - {\Delta \over {4{a^2}}}{\rm{]}}\) Hay \(af(x) = {a^2}[{(x + {b \over {2a}})^2} - {\Delta \over {4{a^2}}}]\) Trong trường hợp Δ > 0, sử dụng hệ thức đã biết: f(x) = a(x x1)(x x2) hay af(x) = a2(x x1)(x x2) trong đó, x1và x2là hai nghiệm của tam thức bậc hai f(x). Lời giải chi tiết Ta có: \(\begin{array}{l} + Nếu Δ < 0 thì \(- \frac{\Delta }{{4{a^2}}} > 0 \) \(\Rightarrow {a^2}\left[ {{{\left( {x + \frac{b}{{2a}}} \right)}^2} - \frac{\Delta }{{4{a^2}}}} \right] > 0 \) \(\Rightarrow af\left( x \right) > 0\)với mọi x R, tức f(x) cùng dấu với a với mọi x R + Nếu Δ = 0 thì \(af(x) = {a^2}{(x + {b \over {2a}})^{^2}}\)khi đó af(x) > 0 với mọi \(x \ne - {b \over {2a}}\). + Nếu Δ > 0 thì f(x) có hai nghiệm phân biệt x1và x2và: f(x) = a(x x1)(x x2) Do đó: af(x) = a2(x x1)(x x2) Vậy af(x) có cùng dấu với tích (x x1)(x x2). Dấu của tích này được cho trong bảng sau (x1< x2) Và af(x) > 0 với mọi x < x1hoặc x > x2
|