Đề bài - câu 19 trang 19 sgk hình học 11 nâng cao

Đề bài

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng \(\Delta :ax + by + c = 0\) và điểm \(I\left( {{x_0};{y_o}} \right)\). Phép đối xứng tâm \({D_I}\) biến đường thẳng \(\) thành đường thẳng \(\). Viết phương trình của \(\)

Lời giải chi tiết

Giả sử \(M (x , y) \in \) và \(M (x , y') \in \) và I là trung điểm của MM nên:

\(\left\{ \begin{array}{l}
{x_0} = \frac{{x + x'}}{2}\\
{y_0} = \frac{{y + y'}}{2}
\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x + x' = 2{x_0}\\
y + y' = 2{y_0}
\end{array} \right.\)

\(\Rightarrow \left\{ {\matrix{{x = 2{x_0} - x'} \cr {y = 2{y_0} - y'} \cr} } \right.\)

\(M(x , y) \) nên

\(\begin{array}{l}
a\left( {2{x_0} - x'} \right) + b\left( {2{y_0} - y'} \right) + c = 0\\
\Leftrightarrow 2a{x_0} - ax' + 2b{y_0} - by' + c = 0\\
\Leftrightarrow 2a{x_0} + 2b{y_0} + c = ax' + by'\\
\Leftrightarrow ax' + by' - \left( {2a{x_0} + 2b{y_0} + c} \right) = 0
\end{array}\)

Vậy M nằm trên đường thẳng ảnh \(\) có phương trình:

\(ax + by - \left( {2a{x_0} + 2b{y_0} + c} \right) = 0\)