Đề bài - câu 36 trang 68 sgk hình học 11 nâng cao

Đề bài

Cho hình lăng trụ đứng tam giác ABC.ABC. Gọi H là trung điểm của cạnh AB.

a. Chứng minh rằng đường thẳng CB song song với mp(AHC)

b. Tìm giao tuyến d của hai mặt phẳng (ABC) và (ABC). Chứng minh rằng d song song với mp(BBCC)

c. Xác định thiết diện của hình lăng trụ ABC.ABCkhi cắt bởi mp(H , d)

Lời giải chi tiết

a) Chứng minh CB' // (AHC)

Ta tìm trong (AHC) một đường thẳng song song với CB, muốn vậy ta tìm giao tuyến của (AHC) với một mặt phẳng chứa CB và giao tuyến đó phải song song CB', đó là (ABC).

Dễ thấy \(H \in \left( {AHC'} \right) \cap \left( {A'B'C} \right)\)

Gọi O là giao điểm AC và AC nên

\(\left\{ \begin{array}{l}
O \in AC' \subset \left( {AHC'} \right)\\
O \in A'C \subset \left( {A'B'C} \right)
\end{array} \right. \)\(\Rightarrow O \in \left( {AHC'} \right) \cap \left( {A'B'C} \right)\)

Do đó \(OH = \left( {AHC'} \right) \cap \left( {A'B'C} \right)\)

AACC là hình bình hành nên O là trung điểm của AC.

Do đó HO là đường trung bình của ABC

HO // BC BC // (AHC).

(vì HO \(\subset\) (AHC)).

b) Tìm giao tuyến d của (ABC) và (ABC).

Gọi O là giao điểm của AB và AB thì O, O là hai điểm chung của hai mặt phẳng (ABC) và (ABC) nên (ABC) (ABC) = OO

Vậy d = OO. Ta có O là trung điểm của AB ( vì AABB là hình bình hành).

OO là đường trung bình của ABC.

OO // BC' // BC OO // (BBCC) d // (BBCC)

c) Gọi {K} = HO AB thì HK // AA

Qua O kẻ ML // AA ( M AC, L AC).

Thiết diện cần tìm là hình bình hành HKLM.