Đề bài - câu 38 trang 121 sách bài tập hình học 11 nâng cao

Đề bài

Trong mặt phẳng (P) cho đường tròn (C) đường kính AC = 2R. Gọi H là điểm thuộc AC (0 < AH < 2R). Một đường thẳng đi qua H cắt đường tròn (C) tại hai điểm B và D. Gọi S là điểm cố định sao cho SA vuông góc với (P), đặt SA = h. Một mặt phẳng (Q) đi qua điểm A và vuông góc với SC cắt các đường thẳng SB, SC, SD, SH lần lượt tại các điểm B1, C1, D1, H1.

a) Chứng minh rằng tứ giác AB1C1D1nôi tiếp một đường tròn.

b) Đường thẳng phải thỏa mãn điều kiện gì để H1là trung điểm của B1D1?

c) Đường thẳng phải thỏa mãn điều kiện gì để AB1C1D1là hình vuông?

Lời giải chi tiết

a) Vì (Q) qua A và \(\left( Q \right) \bot SC\) nên \(A{B_1} \bot SC\).

Mặt khác dễ thấy \(BC \bot \left( {SAB} \right)\) nên \(BC \bot A{B_1}\).

Vậy \(A{B_1} \bot mp\left( {SBC} \right)\), tức là \(A{B_1} \bot {B_1}{C_1}\).

Tương tự như trên, ta có \(A{{\rm{D}}_1} \bot {D_1}{C_1}.\)

Do đó, tứ diện AB1C1D1nội tiếp đường tròn.

b)

Do tứ giác AB1C1D1nội tiếp đường tròn đường kính AC1mà AC1cắt B1D1, tại H1nên H1là trung điểm của B1D1, khi đó xảy ra một trong hai trường hợp sau:

- Trường hợp 1: \({B_1}{D_1} \bot A{C_1}\) tại H1(Hình 1)

- Trường hợp 2: B1D1qua trung điểm H1của AC1(Hình 2)

Xét trường hợp 1

Vì \({B_1}{D_1} \bot A{C_1}\) nên \(A{B_1} = A{{\rm{D}}_1}\)

Mặt khác \(A{B_1},A{{\rm{D}}_1}\) là hai đường cao của hai tam giác vuông SAB và SAD nên

\(A{B_1} = A{{\rm{D}}_1} \Leftrightarrow AB = A{\rm{D}}\)

(Vì \({1 \over {A{S^2}}} + {1 \over {A{B^2}}} = {1 \over {AB_1^2}}\) và \({1 \over {A{S^2}}} + {1 \over {A{D^2}}} = {1 \over {AD_1^2}}\))

Lại có AC là đường kính của (C) nên

\(AB = A{\rm{D}} \Leftrightarrow {\rm{BD}} \bot AC\).

Vậy nếu đường thẳng vuông góc với AC tại H mà 0 < AH < AC thì H1là trung điểm của B1D1.

Xét trường hợp 2 (Hình 3)

Kẻ C1K // H1H, do H1là trung điểm của AC1nên AH = HK = x, từ đó CK = 2R 2x. Khi đó

\(\eqalign{ & {{2{\rm{R}} - 2{\rm{x}}} \over {2{\rm{R}} - x}} = {{CK} \over {CH}} = {{C{C_1}} \over {C{\rm{S}}}} \cr & = {{C{C_1}.C{\rm{S}}} \over {C{{\rm{S}}^2}}} = {{A{C^2}} \over {C{{\rm{S}}^2}}} = {{4{{\rm{R}}^2}} \over {{h^2} + 4{R^2}}} \cr & \Leftrightarrow \left( {R - x} \right)\left( {{h^2} + 4{{\rm{R}}^2}} \right) = 2{R^2}\left( {2{\rm{R}} - x} \right) \cr & \Leftrightarrow x = {{R{h^2}} \over {{h^2} + 2{{\rm{R}}^2}}} \cr} \)

Dễ thấy 0 < x < 2R

Vậy nếu đường thẳng quay quanh điểm H mà H được xác định bởi

\(AH = x = {{R{h^2}} \over {{h^2} + 2{{\rm{R}}^2}}},H \in AC\)

thì H1là trung điểm của B1D1