Đề bài
Trong mặt phẳng [P] cho đường tròn [C] đường kính AC = 2R. Gọi H là điểm thuộc AC [0 < AH < 2R]. Một đường thẳng đi qua H cắt đường tròn [C] tại hai điểm B và D. Gọi S là điểm cố định sao cho SA vuông góc với [P], đặt SA = h. Một mặt phẳng [Q] đi qua điểm A và vuông góc với SC cắt các đường thẳng SB, SC, SD, SH lần lượt tại các điểm B1, C1, D1, H1.
a] Chứng minh rằng tứ giác AB1C1D1nôi tiếp một đường tròn.
b] Đường thẳng phải thỏa mãn điều kiện gì để H1là trung điểm của B1D1?
c] Đường thẳng phải thỏa mãn điều kiện gì để AB1C1D1là hình vuông?
Lời giải chi tiết
a] Vì [Q] qua A và \[\left[ Q \right] \bot SC\] nên \[A{B_1} \bot SC\].
Mặt khác dễ thấy \[BC \bot \left[ {SAB} \right]\] nên \[BC \bot A{B_1}\].
Vậy \[A{B_1} \bot mp\left[ {SBC} \right]\], tức là \[A{B_1} \bot {B_1}{C_1}\].
Tương tự như trên, ta có \[A{{\rm{D}}_1} \bot {D_1}{C_1}.\]
Do đó, tứ diện AB1C1D1nội tiếp đường tròn.
b]
Do tứ giác AB1C1D1nội tiếp đường tròn đường kính AC1mà AC1cắt B1D1, tại H1nên H1là trung điểm của B1D1, khi đó xảy ra một trong hai trường hợp sau:
- Trường hợp 1: \[{B_1}{D_1} \bot A{C_1}\] tại H1[Hình 1]
- Trường hợp 2: B1D1qua trung điểm H1của AC1[Hình 2]
Xét trường hợp 1
Vì \[{B_1}{D_1} \bot A{C_1}\] nên \[A{B_1} = A{{\rm{D}}_1}\]
Mặt khác \[A{B_1},A{{\rm{D}}_1}\] là hai đường cao của hai tam giác vuông SAB và SAD nên
\[A{B_1} = A{{\rm{D}}_1} \Leftrightarrow AB = A{\rm{D}}\]
[Vì \[{1 \over {A{S^2}}} + {1 \over {A{B^2}}} = {1 \over {AB_1^2}}\] và \[{1 \over {A{S^2}}} + {1 \over {A{D^2}}} = {1 \over {AD_1^2}}\]]
Lại có AC là đường kính của [C] nên
\[AB = A{\rm{D}} \Leftrightarrow {\rm{BD}} \bot AC\].
Vậy nếu đường thẳng vuông góc với AC tại H mà 0 < AH < AC thì H1là trung điểm của B1D1.
Xét trường hợp 2 [Hình 3]
Kẻ C1K // H1H, do H1là trung điểm của AC1nên AH = HK = x, từ đó CK = 2R 2x. Khi đó
\[\eqalign{ & {{2{\rm{R}} - 2{\rm{x}}} \over {2{\rm{R}} - x}} = {{CK} \over {CH}} = {{C{C_1}} \over {C{\rm{S}}}} \cr & = {{C{C_1}.C{\rm{S}}} \over {C{{\rm{S}}^2}}} = {{A{C^2}} \over {C{{\rm{S}}^2}}} = {{4{{\rm{R}}^2}} \over {{h^2} + 4{R^2}}} \cr & \Leftrightarrow \left[ {R - x} \right]\left[ {{h^2} + 4{{\rm{R}}^2}} \right] = 2{R^2}\left[ {2{\rm{R}} - x} \right] \cr & \Leftrightarrow x = {{R{h^2}} \over {{h^2} + 2{{\rm{R}}^2}}} \cr} \]
Dễ thấy 0 < x < 2R
Vậy nếu đường thẳng quay quanh điểm H mà H được xác định bởi
\[AH = x = {{R{h^2}} \over {{h^2} + 2{{\rm{R}}^2}}},H \in AC\]
thì H1là trung điểm của B1D1