Đề bài - câu 45 trang 59 sách bài tập hình học 11 nâng cao

Đề bài

Cho hình chóp S.ABCD. Các điểm I, J, K lần lượt là trọng tâm các tam giác SAB, SBC, SCA.

a) Chứng minh rằng (IJK) // (ABC).

b) Tìm tập hợp các điểm M nằm trong hình chóp S.ABC sao cho KM song song với mp(ABC).

Lời giải chi tiết

(h.98)

a) Gọi I, J, K lần lượt là giao điểm của các cặp đường thẳng SI và AB, SJ và BC, SK và CA. Khi đó I, J, K lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC và CA.

Ta có: \({{SI} \over {SI'}} = {{SK} \over {SK'}} = {{SJ} \over {SJ'}} = {2 \over 3}\)

\( \Rightarrow \) IK // IK, KJ // KJ

\( \Rightarrow \) mp(IJK) // mp(IJK).

Mặt khác mp(IJK) \(\equiv \) mp(ABC)

Vậy (IJK) // (ABC)

b) Ta có KM // (ABC) khi và chỉ khi KM thuộc mp(P) qua K và song song với mp(ABC). Vậy KM // (ABC) khi và chỉ khi M \( \in \) (P).

Gọi A, B, C lần lượt là các giao điểm của (P) với các cạnh SA, SB, SC. Khi đó AB // AB,BC // BC, CA // CA.

Theo giả thiết M chỉ nằm trong hình chóp S.ABCD, nên tập hợp các điểm M sao cho KM // (ABC) là tam giác ABC.