\[\eqalign{ & M{N^2} = N{H^2} + H{M^2} \cr & = {{S{A^2}} \over 4} + {{B{C^2}} \over 4} = {1 \over 4}\left[ {{h^2} + {b^2}} \right] \cr & \Rightarrow MN = {1 \over 2}\sqrt {{h^2} + {b^2}} \cr} \]
Đề bài
Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông ở C, cạnh SA vuông góc với mặt phẳng đáy, \[AC = a,BC = b,SA = h\]. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của các cạnh AC và SB.
a] Tính độ dài MN.
b] Tìm hệ thức liên hệ giữa a, b, h để MN là đường vuông góc chung của AC và SB.
Lời giải chi tiết
a] Gọi H là trung điểm của AB thì NH // SA.
Do \[SA \bot \left[ {ABC} \right]\] nên \[NH \bot \left[ {ABC} \right]\], từ đó \[\widehat {NHM} = {90^0}\]. Vậy
\[\eqalign{ & M{N^2} = N{H^2} + H{M^2} \cr & = {{S{A^2}} \over 4} + {{B{C^2}} \over 4} = {1 \over 4}\left[ {{h^2} + {b^2}} \right] \cr & \Rightarrow MN = {1 \over 2}\sqrt {{h^2} + {b^2}} \cr} \]
b] h = b