Đề bài - đề kiểm tra 15 phút - đề số 5 - bài 7 - chương 3 - hình học 9

Đề bài

Từ điểm M ở ngoài đường tròn (O), kẻ cát tuyến MAB ( A nằm giữa hai điểm M và B) và các tiếp tuyến MC, MD. Gọi H là giao điểm của OM và CD.

a) Chứng minh : MC2 = MA.MB.

b) Chứng minh tứ giác AHOB nội tiếp.

Lời giải chi tiết

a) Xét \(MAC\) và \(MCB\) có:

+) \(\widehat M\) chung,

+) \(\widehat {MCA} = \widehat {MBC}\) ( góc giữa tiếp tuyến một dây và góc nội tiếp cùng chắn cung AC)

Do đó \(MAC\)đồng dạng\(MCB\) (g.g)

\( \Rightarrow\dfrac {{MA} }{ {MC}} =\dfrac {{MC}}{{MB}} \)

\(\Rightarrow MA.MB = M{C^2}\;\;\;\;(1)\)

b) Dễ thấy MO là đường trung trực của đoạn CD ( vì \(OC = OD = R, MC = MD\)) nên \(MO \bot CD\) tại H.

Trong tam giác vuông MCO có CH là đường cao.

Ta có : \(MO.MH = MC^2\;\;\; (2)\) ( hệ thức lượng trong tam giác vuông )

Từ (1) và (2) \(\Rightarrow MA.MB = MO.MH\).

Do đó \(MAH\) đồng dạng \(MOB\) (g.g) \(\Rightarrow \widehat {MHA} = \widehat {MBO}\) chứng tỏ tứ giác AHOB nội tiếp.