Giải bài 1.1, 1.2, 1.3, 1.4 trang 99 sách bài tập đại số và giải tích 11 - Bài trang Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích

Bài 1.1 trang 99 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11

Chứng minh các đẳng thức sau (với n N* )

a) \(2 + 5 + 8 + ... + \left( {3n - 1} \right) = {{n\left( {3n + 1} \right)} \over 2};\)

b) \(3 + 9 + 27 + ... + {3^n} = {1 \over 2}\left( {{3^{n + 1}} - 3} \right).\)

Giải:

a) Đặt vế trái bằng Sn. Kiểm tra với n = 1 hệ thức đúng.

Giả sử đã có \({S_k} = {{k\left( {3k + 1} \right)} \over 2}\)với \(k \ge 1\).

Ta phải chứng minh \({S_{k + 1}} = {{\left( {k + 1} \right)\left( {3k + 4} \right)} \over 2}\)

Thật vậy

\(\eqalign{
& {S_{k + 1}} = {S_k} + 3\left( {k + 1} \right) - 1 \cr
& = {{k\left( {3k + 1} \right)} \over 2} + 3k + 2 \cr
& = {{3{k^2} + k + 6k + 4} \over 2} \cr
& = {{3{k^2} + 7k + 4} \over 2} \cr
& {\rm{ = }}{{\left( {k + 1} \right)\left( {3k + 4} \right)} \over 2}{\rm{ }}\left( {đpcm} \right) \cr} \)

b) Đặt vế trái bằnglàm tương tự như câu a).

---

Bài 1.2 trang 99 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11

Chứng minh các đẳng thức sau (với n N* )

a) \({1^2} + {3^2} + {5^2} + ... + {\left( {2n - 1} \right)^2} = {{n\left( {4{n^2} - 1} \right)} \over 3};\)

b) \({1^3} + {2^3} + {3^3} + ... + {n^3} = {{{n^2}{{\left( {n + 1} \right)}^2}} \over 4}\)

Giải:

a) Đặt vế trái bằng Sn

Với n = 1 vế trái chỉ có một số hạng bằng 1, vế phải bằng \({{1\left( {4.1 - 1} \right)} \over 3} = 1\)

Giả sử đã có \({S_k} = {{k\left( {4{k^2} - 1} \right)} \over 3}\)với \(k \ge 1\).Ta phải chứng minh

\({S_{k + 1}} = {{\left( {k + 1} \right)\left[ {4{{\left( {k + 1} \right)}^2} - 1} \right]} \over 3}\)

Thật vậy, ta có

\(\eqalign{
& {S_{k + 1}} = {S_k} + {\left[ {2\left( {k + 1} \right) - 1} \right]^2} = {S_k} + {\left( {2k + 1} \right)^2} \cr
& {\rm{ = }}{{k\left( {4{k^2} - 1} \right)} \over 3} + {\left( {2k + 1} \right)^2} \cr
& = {{\left( {2k + 1} \right)\left[ {k\left( {2k - 1} \right) + 3\left( {2k + 1} \right)} \right]} \over 3} \cr
& {\rm{ = }}{{\left( {k + 1} \right)\left( {2{k^2} + 5k + 3} \right)} \over 3} \cr
& = {{\left( {k + 1} \right)\left( {2k + 3} \right)\left( {2k + 1} \right)} \over 3} \cr
& = {{\left( {k + 1} \right)\left[ {4{{\left( {k + 1} \right)}^2} - 1} \right]} \over 3} \cr} \)

b) Đặt vế trái bằng An

Dễ thấy với n = 1 hệ thức đúng.

Giả sử đã có \({A_k} = {{{k^2}{{\left( {k + 1} \right)}^2}} \over 4},\left( {k \ge 1} \right)\)

Ta có:

\(\eqalign{
& {A_{k + 1}} = {A_k} + {\left( {k + 1} \right)^3} \cr
& = {{{k^2}{{\left( {k + 1} \right)}^2}} \over 4} + {\left( {k + 1} \right)^3} \cr
& {\rm{ = }}{{{{\left( {k + 1} \right)}^2}\left( {{k^2} + 4k + 4} \right)} \over 4} \cr
& = {{{{\left( {k + 1} \right)}^2}{{\left( {k + 2} \right)}^2}} \over 4} \cr} \)

---

Bài 1.3 trang 100 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11

Chứng minh rằng với mọi n N* ta có

a) \(2{n^3} - 3{n^2} + n\)chia hết cho 6.

b) \({11^{n + 1}} + {12^{2n - 1}}\)chia hết cho 133.

Giải:

a) HD: Đặt \({B_n} = 2{n^3} - 3{n^2} + n\) tínhB1

Giả sử đã có \({B_k} = 2{k^3} - 3{k^2} + k\)chia hết cho 6.

Ta phải chứng minh \({B_{k + 1}} = 2{\left( {k + 1} \right)^3} - 3{\left( {k + 1} \right)^2} + k\)chia hết cho 6.

b) Đặt \({A_n} = {11^{n + 1}} + {12^{2n - 1}}\)Dễ thấy \({A_1} = 133\)chia hết cho 133.

Giả sử \({A_k} = {11^{k + 1}} + {12^{2k - 1}}\) đã cóchia hết cho 133.

Ta có

\(\eqalign{
& {A_{k + 1}} = {11^{k + 2}} + {12^{2k + 1}} \cr
& = {11.11^{k + 1}} + {12^{2k - 1}}{.12^2} \cr
& {\rm{ = 11}}{\rm{.1}}{{\rm{1}}^{k + 1}} + {12^{2k - 1}}\left( {11 + 133} \right) \cr
& = 11.{A_k} + {133.12^{2k - 1}} \cr} \)

Vì \({A_k} \vdots 133\)nên \({A_{k + 1}} \vdots 133\)

---

Bài 1.4 trang 100 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11

Chứng minh các bất đẳng thức sau (n N*)

a) \({2^{n + 2}} > 2n + 5{\rm{ }}\);

b) \({\sin ^{2n}}\alpha + {\cos ^{2n}}\alpha \le 1\)

Giải:

a) Với n = 1 thì \({2^{1 + 2}} = 8 > 7 = 2.1 + 5\)

Giả sử bất đẳng thức đúng với \(n = k \ge 1\) tức là \({2^{k + 2}} > 2k + 5\,\,\,(1)\)

Ta phải chứng minh nó cũng đúng với n = k + 1,tức là \({2^{k + 3}} > 2\left( {k + 1} \right) + 5\)hay \({2^{k + 3}} > 2k + 7\,\,\,\left( 2 \right)\)

Thật vậy, nhân hai vế của (1) với 2, ta được

\({2^{k + 3}} > 4k + 10 = 2k + 7 + 2k + 3\)

Vì \(2k + 3 > 0\) nên \({2^{k + 3}} > 2k + 7\left( {đpcm} \right)\)

b) Với n = 1 thì \({\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1\) bất đẳng thức đúng.

Giả sử đã có \({\sin ^{2k}}\alpha + {\cos ^{2k}}\alpha \le 1\)với \(k \ge 1\),ta phải chứng minh

\({\sin ^{2k + 2}}\alpha + {\cos ^{2k + 2}}\alpha \le 1\).

Thật vậy, ta có:

\({\sin ^{2k + 2}}\alpha + {\cos ^{2k + 2}}\alpha\)

\( = {\sin ^{2k}}\alpha .{\sin ^2}\alpha + {\cos ^{2k}}\alpha .{\cos ^2}\alpha \le {\sin ^{2k}}\alpha + {\cos ^{2k}}\alpha \le 1\)