Giải bài 12, 13 trang 128 sách bài tập đại số và giải tích 11 - Bài trang Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích

Bài 12 trang 128 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11

Tính tổng:

a) \({S_n} = 1 + 2a + 3{a^2} + ... + n{a^{n - 1}}\)

b) \({S_n} = 1.x + 2.{x^2} + 3.{x^3} + ... + n{x^n}\)

Giải:

a) HD: Với a = 1 ta có \({S_n} = 1 + 2 + 3 + ... + n = {{n\left( {n + 1} \right)} \over 2}\)

Giả sử a 1. Nhân hai vế của hệ thức \({S_n} = 1 + 2a + 3{a^2} + ... + n{a^{n - 1}}\)với a và tính hiệu

\({S_n} - a{S_n} = \left( {1 - a} \right){S_n}\)

Từ đó, ta tính được \({S_n} = {{n{a^{n + 1}} - \left( {n + 1} \right){a^n} + 1} \over {{{\left( {a - 1} \right)}^2}}}\)

b) Làm tương tự như câu a).

Bài 13 trang 128 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11

Tìm m để phương trình \({x^4} - \left( {3m + 5} \right){x^2} + {\left( {m + 1} \right)^2} = 0\)có bốn nghiệm lập thành cấp số cộng.

Giải:

Đặt \({x^4} = y\)ta có phương trình

\({y^2} - \left( {3m + 5} \right)y + {\left( {m + 1} \right)^2} = 0\) (1)

Để phương trình có 4 nghiệm thì phương trình (1) phải có 2 nghiệm dương \({y_1},{y_2}{\rm{ }}\left( {{y_1} < {y_2}} \right)\)Bốn nghiệm đó là \(- \sqrt {{y_2}} , - \sqrt {{y_1}} ,\sqrt {{y_1}} ,\sqrt {{y_2}} \).

Điều kiện để 4 nghiệm trên lập thành cấp số cộng là \(\sqrt {{y_2}} - \sqrt {{y_1}} = 2\sqrt {{y_1}} \) hay \({y_2} = 9{y_1}\) kết hợp vớiđịnh lí Vi-ét tìm được m = 5 và \(m = - {{25} \over {19}}\)