Giải bài 23, 24, 25, 26 trang 97 sách giáo khoa hình học 10 - Câu trang SGK Hình học

Câu 23 trang 97 SGK Hình học 10

Cho elip \((E): x^2+ 4y^2= 1\) và cho các mệnh đề:

(I): \((E)\) có trục lớn bằng \(1\)

(II) \((E)\) có trục nhỏ bằng \(4\)

(III) \((E)\) có tiêu điểm \({F_1}(0,{{\sqrt 3 } \over 2})\)

(IV) \((E)\) có tiêu cự bằng \(\sqrt3\).

Trong các mệnh đề sau, tìm mệnh đề đúng:

A. (I) B. (II) và (IV)

C. (I) và (III) D. (IV)

Trả lời:

Elip:

\(\eqalign{
& {x^2} + 4{y^2} = 1 \Leftrightarrow {{{x^2}} \over 1} + {{{y^2}} \over {{1 \over 4}}} = 1 \cr
& {a^2} = 1;{b^2} = {1 \over 4},{c^2} = {a^2} - {b^2} = {3 \over 4} \Rightarrow \left\{ \matrix{
a = 1 \hfill \cr
b = {1 \over 2} \hfill \cr
c = {{\sqrt 3 } \over 2} \hfill \cr} \right. \cr} \)

_ Độ dài trục lớn \(2a = 2\), độ dài trục nhỏ \(2b = 1\)

_ Tiêu cự \(2c = \sqrt3\) và tiêu điểm

\(\left\{ \matrix{
{F_1}( - {{\sqrt 3 } \over 2},0) \hfill \cr
{F_2}({{\sqrt 3 } \over 2},0) \hfill \cr} \right.\)

_ Mệnh đề đúng: (E) có tiêu cự là \(\sqrt3\). Vậy chọn D.

---

Câu 24 trang 97 SGK Hình học 10

Dây cung của elip (E):\({{{x^2}} \over {{a^2}}} + {{{y^2}} \over {{b^2}}} = 1 (0 < b < a)\) vuông góc với trục lớn tại tiêu điểm có độ dài là:

A. \({{2{c^2}} \over a}\)

B. \({{2{b^2}} \over a}\)

C. \({{2{a^2}} \over c}\)

D. \({{{a^2}} \over c}\)

Trả lời:

Đường thẳng \(Δ\) đi qua tiêu điểm \(F(c; 0)\) của elip (E): \({{{x^2}} \over {{a^2}}} + {{{y^2}} \over {{b^2}}} = 1(0 < b < a)\) và vuông góc với trục lớn của phương trình :\( x c = 0\).

\(Δ\) cắt \((E)\) tại hai điểm \(M\) và \(N\) có tọa độ là nghiệm của hệ phương trình:

\(\left\{ \matrix{
x - c = 0 \hfill \cr
{{{x^2}} \over {{a^2}}} + {{{y^2}} \over {{b^2}}} = 1 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x = c \hfill \cr
y = \pm {{{b^2}} \over a} \hfill \cr} \right.\)

Độ dài dây cung của \((E)\) là độ dài đoạn thẳng \(MN = {{2{b^2}} \over a}\)

Chọn B

---

Câu 25 trang 97 SGK Hình học 10

Một elip có trục lớn là \(26\), tỉ số \({c \over a} = {{12} \over {13}}\). Trục nhỏ của elip bằng bao nhiêu?

A. \(5\) B. \(10\)

C. \(12\) D. \(14\)

Trả lời:

Ta có: \(2b = 10\). Suy ra \(b = 5\)

Vậy chọn A.

---

Câu 26 trang 97 SGK Hình học 10

Cho elip \((E): 4x^2+ 9y^2= 36\). Trong các mệnh đề sau, tìm mệnh đề sai:

A. \((E)\) có trục lớn bằng \(6\)

B. \((E)\) có trục nhỏ bằng \(4\)

C. \((E)\) có tiêu cự bằng \(\sqrt5\)

D. \((E)\) có tỉ số \({c \over a} = {{\sqrt 5 } \over 3}\)

Trả lời:

\(\eqalign{
& 4{x^2} + {\rm{ }}9{y^2} = {\rm{ }}36 \Leftrightarrow {{{x^2}} \over 9} + {{{y^2}} \over 4} = 1 \cr
& \left\{ \matrix{
{a^2} = 9 \hfill \cr
{b^2} = 4 \hfill \cr
{c^2} = {a^2} - {b^2} = 5 \hfill \cr} \right. \Rightarrow \left\{ \matrix{
a = 3 \hfill \cr
b = 2 \hfill \cr
c = \sqrt 5 \hfill \cr} \right. \cr} \)

_ Độ dài trục lớn \(2a 6\), độ dài trục nhỏ \(2b = 4\)

_ Tiêu cự \(2c = 2\sqrt5\) và tỉ số\({c \over a} = {{\sqrt 5 } \over 3}\)

_ Mệnh đề sai: \((E)\) có tiêu cự bằng \(\sqrt5\)

Vậy C sai