Giải bài 3.27, 3.28, 3.29 trang 185, 186 sách bài tập giải tích 12 - Câu trang sách bài tập (SBT) - Giải tích

Câu 3.27 trang 185 sách bài tập (SBT) - Giải tích 12

Tính các nguyên hàm sau:

a) \(\int {(2x - 3)\sqrt {x - 3} dx} \), đặt \(u = \sqrt {x - 3} \)

b) \(\int {{x \over {{{(1 + {x^2})}^{{3 \over 2}}}}}} dx\), đặt\(u = \sqrt {{x^2} + 1} \)

c) \(\int {{{{e^x}} \over {{e^x} + {e^{ - x}}}}} dx\), đặt \(u = {e^{2x}} + 1\)

d)\(\int {{1 \over {\sin x - \sin a}}} dx\)

e) \(\int {\sqrt x \sin \sqrt x } dx\), đặt \(t = \sqrt x \)

g)\(\int {x\ln {x \over {1 + x}}} dx\)

Hướng dẫn làm bài

a) \({2 \over 5}{(x - 3)^{{3 \over 2}}}(2x - 1) + C\)

b)\(- {1 \over {\sqrt {1 + {x^2}} }} + C\)

c) \({1 \over 2}\ln ({e^{2x}} + 1) + C\)

d) \({1 \over {\cos a}}\ln |{{\sin {{x - a} \over 2}} \over {\cos {{x - a} \over 2}}}| + C\). HD: Ta có:\(\cos a = \cos ({{x - a} \over 2} - {{x + a} \over 2})\)

e) \(- 2x\cos \sqrt x + 4\sqrt x \sin \sqrt x + 4\cos \sqrt x + C\)

g) \({{{x^2}} \over 2}\ln {x \over {1 + x}} + {1 \over 2}\ln |1 + x| - {1 \over 2}x + C\)

---

Bài 3.28 trang 186 sách bài tập (SBT) - Giải tích 12

Tính các tích phân sau:

a) \(\int\limits_0^1 {{{(y - 1)}^2}\sqrt y } dy\), đặt \(t = \sqrt y \)

b) \(\int\limits_1^2 {({z^2} + 1)\root 3 \of {{{(z - 1)}^2}} } dz\), đặt \(u = \root 3 \of {{{(z - 1)}^2}} \)

c) \(\int\limits_1^e {{{\sqrt {4 + 5\ln x} } \over x}} dx\)

d) \(\int\limits_0^{{\pi \over 2}} {({{\cos }^5}\varphi } - {\sin ^5}\varphi )d\varphi \)

e) \(\int\limits_0^\pi {{{\cos }^3}\alpha \cos 3\alpha } d\alpha \)

Hướng dẫn làm bài

a) \({{16} \over {105}}\)

b) \(2{{49} \over {220}}\)

c) \({{38} \over {15}}\).

HD: \(\int\limits_1^e {{{\sqrt {4 + 5\ln x} } \over x}} dx = {1 \over 5}\int\limits_1^e {{{(4 + 5\ln x)}^{{1 \over 2}}}d(4 + 5\ln x)} \)

d) 0

e)\({\pi \over 8}\) .

HD: Dùng công thức hạ bậc đối với \({\cos ^3}x\)

---

Câu 3.29 trang 186 sách bài tập (SBT) - Giải tích 12

Tính các tích phân sau:

a) \(\int\limits_0^{{\pi \over 4}} {\cos 2x} .{\cos ^2}xdx\)

b) \(\int\limits_{{1 \over 2}}^1 {{{{e^x}} \over {{e^{2x}} - 1}}} dx\)

c) \(\int\limits_0^1 {{{x + 2} \over {{x^2} + 2x + 1}}} \ln (x + 1)dx\)

d) \(\int\limits_0^{{\pi \over 4}} {{{x\sin x + (x + 1)\cos x} \over {x\sin x + \cos x}}} dx\)

Hướng dẫn làm bài

a) \({1 \over 4}(1 + {\pi \over 4})\) . HD: \({{1 + \cos 2x} \over 2} = {\cos ^2}x\)

b) \({1 \over 2}\ln {{(e - 1)(\sqrt e + 1)} \over {(e + 1)(\sqrt e - 1)}}\) . HD:\({{{e^x}} \over {{e^{2x}} - 1}} = {1 \over 2}({{{e^x}} \over {{e^x} - 1}} - {{{e^x}} \over {{e^x} + 1}})\)

c) \({1 \over 2}({\ln ^2}2 - \ln 2 + 1)\). HD: \({{x + 2} \over {{x^2} + 2x + 1}}\ln (x + 1) = {{\ln (x + 1)} \over {x + 1}} + {{\ln (x + 1)} \over {{{(x + 1)}^2}}}\)

d) \({\pi \over 4} + \ln (1 + {\pi \over 4}) - {1 \over 2}\ln 2\).

HD: \({{x\sin x + (x + 1)\cos x} \over {x\sin x + \cos x}} = 1 + {{x\cos x} \over {x\sin x + \cos x}}\) và \(d(x\sin x + \cos x) = x\cos xdx\)