Giải bài 3.35, 3.36, 3.37, 3.38 trang trang 129, 130 sách bài tập hình học 12 - Bài trang sách bài tập (SBT) Hình học

Bài 3.35 trang 129 sách bài tập (SBT) Hình học 12

Xét vị trí tương đối của đường thẳng d với mặt phẳng \((\alpha )\)trong các trường hợp sau

a) \(d:\left\{ {\matrix{{x = t} \cr {y = 1 + 2t} \cr {z = 1 - t} \cr} } \right.\) và \((\alpha )\): x + 2y + z - 3 = 0

b) d: \(\left\{ {\matrix{{x = 2 - t} \cr {y = t} \cr {z = 2 + t} \cr} } \right.\) và\((\alpha )\) : x + z + 5 = 0

c)\(d:\left\{ {\matrix{{x = 3 - t} \cr {y = 2 - t} \cr {z = 1 + 2t} \cr} } \right.\) và \((\alpha )\): x +y + z -6 = 0

Hướng dẫn làm bài:

a) Thay x, y, z trong phương trình tham số của đường thẳng d vào phương trình tổng quát của mặt phẳng \((\alpha )\)ta được: t + 2(1 + 2t) + (1 t) 3 = 0

⟺4t = 0 ⟺ t = 0

Vậy đường thẳng d cắt mặt phẳng\((\alpha )\) tại M0(0; 1; 1).

b) Thay x, y, z trong phương trình tham số của d vào phương trình tổng quát của \((\alpha )\)ta được: (2 t) +(2 + t) + 5 = 0 ⟺0t = -9

Phương trình vô nghiệm, vậy đường thẳng d song song với\((\alpha )\)

c) Thay x, y, z trong phương trình tham số của d vào phương trình tổng quát của \((\alpha )\)ta được: (3 t) + (2 t) + (1 + 2t) 6 = 0 ⟺0t = 0

Phương trình luôn thỏa mãn với mọi t. Vậy d chứa trong \((\alpha )\) .

---

Bài 3.36 trang 130 sách bài tập (SBT) Hình học 12

Tính khoảng cách từ điểm A(1; 0; 1) đến đường thẳng \(\Delta :{{x - 1} \over 2} = {y \over 2} = {z \over 1}\)

Hướng dẫn làm bài:

Đường thẳng \(\Delta \)đi qua điểm M0(1; 0; 0) và có vecto chỉ phương\(\overrightarrow a = (2;2;1)\).

Ta có\(\overrightarrow {{M_0}A} = (0;0;1),\overrightarrow n = \overrightarrow a \wedge \overrightarrow {{M_0}A} = (2; - 2;0)\).

\(d(A,\Delta ) = {{|\overrightarrow n |} \over {|\overrightarrow a |}} = {{\sqrt {4 + 4 + 0} } \over {\sqrt {4 + 4 + 1} }} = {{2\sqrt 2 } \over 3}\)

Vậy khoảng cách từ điểm A đến \(\Delta \)là \({{2\sqrt 2 } \over 3}\).

---

Bài 3.37 trang 130 sách bài tập (SBT) Hình học 12

Cho đường thẳng \(\Delta :{{x + 3} \over 2} = {{y + 1} \over 3} = {{z + 1} \over 2}\) và mặt phẳng \((\alpha )\): 2x 2y + z + 3 = 0

a) Chứng minh rằng \(\Delta \)song song với \((\alpha )\).

b) Tính khoảng cách giữa \(\Delta \)và\((\alpha )\)

Hướng dẫn làm bài:

a) Ta có: \(\overrightarrow {{a_\Delta }} = (2;3;2)\) và\(\overrightarrow {{n_\alpha }} = (2; - 2;1)\)

\(\overrightarrow {{a_\Delta }} .\overrightarrow {{n_\alpha }} = 4 - 6 + 2 = 0\) (1)

Xét điểm M0(-3; -1; -1) thuộc \(\Delta \), ta thấy tọa độ M0không thỏa mãn phương trình của \((\alpha )\). Vậy \({M_0} \notin (\alpha )\) (2).

Từ (1) và (2) ta suy ra \(\Delta //(\alpha )\)

b) \(d(\Delta ,(\alpha )) = d({M_0},(\alpha )) = {{|2.( - 3) - 2.( - 1) + ( - 1) + 3|} \over {\sqrt {4 + 4 + 1} }} = {2 \over 3}\)

Vậy khoảng cách giữa đường thẳng \(\Delta \)và mặt phẳng \((\alpha )\)là \({2 \over 3}\).

---

Bài 3.38 trang 130 sách bài tập (SBT) Hình học 12

Tính khoảng cách giữa các cặp đường thẳng \(\Delta \)và \(\Delta '\)trong các trường hợp sau:

a)\(\Delta :\left\{ {\matrix{{x = 1 + t} \cr {y = - 1 - t} \cr {z = 1} \cr} } \right.\) và \(\Delta ':\left\{ {\matrix{{x = 2 - 3t'} \cr {y = 2 + 3t'} \cr {z = 3t'} \cr} } \right.\)

b)\(\Delta :\left\{ {\matrix{{x = t} \cr {y = 4 - t} \cr {z = - 1 + 2t} \cr} } \right.\) và \(\Delta ':\left\{ {\matrix{{x = t'} \cr {y = 2 - 3t'} \cr {z = - 3t'} \cr} } \right.\)

Hướng dẫn làm bài:

a) Gọi \((\alpha )\)là mặt phẳng chứa \(\Delta \)và song song với \(\Delta '\). Hai vecto có giá song song hoặc nằm trên \((\alpha )\)là: \(\overrightarrow a = (1; - 1;0)\)và \(\overrightarrow a ' = ( - 1;1;1)\). Suy ra \(\overrightarrow {{n_\alpha }} = ( - 1; - 1;0)\)

\((\alpha )\)đi qua điểm M1(1; -1; 1) thuộc \(\Delta \)và có vecto pháp tuyến: \(\overrightarrow {{n_{\alpha '}}} = (1;1;0)\)

Vậy phưong trình của mặt phẳng \((\alpha )\) có dạng x 1 + y + 1= hay x + y = 0

Ta có: M2((2; 2; 0) thuộc đường thẳng \(\Delta '\)

\(d(\Delta ,\Delta ') = d({M_2},(\alpha )) = {{|2 + 2|} \over {\sqrt {1 + 1} }} = 2\sqrt 2 \)

b) Hai đường thẳng \(\Delta \)và \(\Delta '\)có phương trình là:

\(\Delta :\left\{ {\matrix{{x = t} \cr {y = 4 - t} \cr {z = - 1 + 2t} \cr} } \right.\) và \(\Delta ':\left\{ {\matrix{{x = t'} \cr {y = 2 - 3t'} \cr {z = - 3t'} \cr} } \right.\)

Phương trình mặt phẳng \((\alpha )\)chứa \(\Delta \)và song song với \(\Delta '\)là 9x + 5y 2z 22 = 0

Lấy điểm M(0; 2; 0) trên \(\Delta '\).

Ta có \(d(\Delta ,\Delta ') = d(M',(\alpha )) = {{|5.(2) - 22|} \over {\sqrt {81 + 25 + 4} }} = {{12} \over {\sqrt {110} }}\)

Vậy khoảng cách giữa hai đường thẳng \(\Delta \)và \(\Delta '\)là \({{12} \over {\sqrt {110} }}\).