Giải bài 3.62, 3.63, 3.64, 3.65 trang 164 sách bài tập toán hình học 10 - Bài trang Sách bài tập (SBT) Toán Hình Học

Bài 3.62 trang 164 Sách bài tập (SBT) Toán Hình Học 10

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng: \({d_1}:x - y = 0\) và \({d_2}:2x + y - 1 = 0\) Tìm tọa độ các đỉnh hình vuông ABCD biết rằng đỉnh A thuộc \({d_1}\) , đỉnh C thuộc \({d_2}\) và các đỉnh B, D thuộc trục hoành.

Gợi ý làm bài

(Xem hình 3.21)

Vì \(A \in {d_1} \Rightarrow A\left( {t;t} \right).\)

Vì A và C đối xứng nhau qua BD và \(B,D \in Ox\) nên \(C\left( {t; - t} \right)\)

Vì \(C \in {d_2}\) nên \(2t - t - 1 = 0 \Leftrightarrow t = 1\). Vậy A(1 ; 1), C(1 ; -1).

Trung điểm AC là I(1 ; 0). Vì I là tâm hình vuông nên

\(\left\{ \matrix{
IB = IA = 1 \hfill \cr
ID = IA = 1 \hfill \cr} \right.\)

\(\eqalign{
& \left\{ \matrix{
B \in Ox \hfill \cr
D \in Ox \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
B(b;0) \hfill \cr
D(d;0) \hfill \cr} \right. \cr
& \Rightarrow \left\{ \matrix{
\left| {b - 1} \right| = 1 \hfill \cr
\left| {d - 1} \right| = 1 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
b = 0,b = 2 \hfill \cr
d = 0,d = 2. \hfill \cr} \right. \cr} \)

Suy ra B(0 ; 0) và D(2 ; 0) hoặc B(2 ; 0), D(0 ; 0).

Vậy bốn đỉnh của hình vuông là A(1 ; 1), B(0 ; 0), C(1 ; -1), D(2 ; 0)

hoặc A(1 ; 1), B(2 ; 0), C(1 ; -1), D(0 ; 0).

---

Bài 3.63 trang 164 Sách bài tập (SBT) Toán Hình Học 10

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm A(2;0) và B(6;4). Viết phương trình đường tròn (C) tiếp xúc với trục hoành tại A và khoảng cách từ tâm của (C) đến B bằng 5.

Gợi ý làm bài

Gọi tâm của (C) là I(a;b) và bán kính của (C) là R.

(C) tiếp xúc với Ox tai A \(\Rightarrow a = 2\) và \(\left| b \right| = R\)

\(IB = 5 \Leftrightarrow {\left( {6 - 2} \right)^2} + {\left( {4 - b} \right)^2} = 25\)

\( \Leftrightarrow {b^2} - 8b + 7 = 0 \Leftrightarrow b = 1,b = 7.\)

Với a = 2, b = 1 ta có đường tròn (C 1): \({\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} = 1\)

Với a = 2, b = 7 ta có đường tròn (C 2): \({\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 7} \right)^2} = 49.\)

---

Bài 3.64 trang 164 Sách bài tập (SBT) Toán Hình Học 10

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn (C): \({x^2} + {y^2} - 2x - 2y + 1 = 0\) và đường thẳng d: x - y + 3 = 0. Tìm tọa độ điểm M nằm trên d sao cho đường tròn tâm M có bán kính gấp đôi bán kính đường tròn (C) và tiếp xúc ngoài vơi đường tròng (C).

Gợi ý làm bài

(Xem hình 3.22)

Đường tròn (C) có tâm I(1 ; 1), bán kính R = 1.

Vì \(M \in d\) nênM(x;x + 3).Yêu cầu của bài toán tương đương với:

\(MI = R + 2R \Leftrightarrow {\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {x + 2} \right)^2} = 9\)

\( \Leftrightarrow x = 1,x = - 2\)

Vậy có hai điểm M thỏa mãn yêu cầu bài toán là M(1 ; 4) và M(-2 ; 1).

---

Bài 3.65 trang 164 Sách bài tập (SBT) Toán Hình Học 10

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn (C) : \({(x - 1)^2} + {(y - 2)^2} = 4\) và đường thẳng d: x - y - 1 = 0.Viết phương trình đường tròn (C ) đối xứng vơi đường tròng (C) qua đường thẳng d. Tìm tọa độ các giao điểm của (C ) và (C).

Gợi ý làm bài

(Xem hình 3.23)

Đường thẳng d có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n = \left( {1; - 1} \right).\) Do đó đường thẳng \(\Delta \) đi qua tâm \(I\left( {1;2} \right)\) và vuông góc với d có phương trình :

\({{x - 1} \over 1} = {{y - 2} \over { - 1}} \Leftrightarrow x + y - 3 = 0.\)

Tọa độ giao điểm H của d và là nghiệm của hệ phương trình :

\(\left\{ \matrix{
x - y - 1 = 0 \hfill \cr
x + y - 3 = 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x = 2 \hfill \cr
y = 1 \hfill \cr} \right. \Rightarrow H\left( {2;1} \right)\)

Gọi J là điểm đối xứng của I qua d. Khi đó :

\(\left\{ \matrix{
{x_J} = 2{x_H} - {x_I} = 3 \hfill \cr
{y_J} = 2{y_H} - {y_I} = 0 \hfill \cr} \right. \Rightarrow J(3;0).\)

Vì (C ) đối xứng với (C ) qua d nên (C ) có tâm là \(J\left( {3;0} \right)\) và bán kính R = 2.

Do đó (C ) có phương trình là :

\({\left( {x - 3} \right)^2} + {y^2} = 4\)

Tọa độ các giao điểm của (C ) và (C ) là nghiệm của hệ phương trình :

\(\left\{ \matrix{
{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = 4 \hfill \cr
{\left( {x - 3} \right)^2} + {y^2} = 4 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x - y - 1 = 0 \hfill \cr
{\left( {x - 3} \right)^2} + {y^2} = 4 \hfill \cr} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
y = x - 1 \hfill \cr
2{x^2} - 8x + 6 = 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = 1,y = 0 \hfill \cr
x = 3,y = 2. \hfill \cr} \right.\)

Vậy tọa độ giao điểm của (C ) và (C ) là A(1 ; 0) và B(3 ; 2).