Giải bài 3.9, 3.10, 3.11 trang 169, 170 sách bài tập đại số và giải tích 11 - Bài trang Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích

Bài 3.9 trang 169 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11

Chứng minh rằng phương trình

a) \({x^5} - 3x - 7 = 0\)luôn có nghiệm ;

b) \(\cos 2x = \sin x - 2\)có ít nhất hai nghiệm trong khoảng \(\left( { - {\pi \over 6};\pi } \right)\);

c) \(\sqrt {{x^3} + 6x + 1} - 2 = 0\)có nghiệm dương.

Giải:

a) Xét \(f\left( x \right) = {x^5} - 3x - 7\)và hai số 0; 2.

b) Xét \(f\left( x \right) = \cos 2x - 2\sin x + 2\) trên các khoảng \(\left( { - {\pi \over 6};{\pi \over 2}} \right){\rm{ , }}\left( {{\pi \over 2};\pi } \right)\)

c) Ta có,

\(\eqalign{
& \sqrt {{x^3} + 6x + 1} - 2 = 0 \cr
& \Leftrightarrow {x^3} + 6x + 1 = 4 \cr
& \Leftrightarrow {x^3} + 6x - 3 = 0 \cr} \)

Hàm số \(f\left( x \right) = {x^3} + 6x - 3\)liên tục trên R nên liên tục trên đoạn [0; 1] (1)

Ta có \(f\left( 0 \right)f\left( 1 \right) = - 3.4 < 0\) (2)

Từ (1) và (2) suy ra phương trình \({x^3} + 6x - 3 = 0\)có ít nhất một nghiệmthuộc (0; 1)

Do đó, phương trình \(\sqrt {{x^3} + 6x + 1} - 2 = 0\)có ít nhất một nghiệm dương.

---

Bài 3.10 trang 170 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11

Phương trình \({x^4} - 3{x^2} + 1 = 0\)có nghiệm hay không trong khoảng (-1; 3) ?

Giải:

Hướng dẫn:Xét \(f\left( x \right) = {x^4} - 3{x^3} + 1 = 0\) trên đoạn [-1; 1]

Trả lời : Có.

---

Bài 3.11 trang 170 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11

Chứng minh các phương trình sau luôn có nghiệm với mọi giá trị của tham số m :

a) \(\left( {1 - {m^2}} \right){\left( {x + 1} \right)^3} + {x^2} - x - 3 = 0\);

b) \(m\left( {2\cos x - \sqrt 2 } \right) = 2\sin 5x + 1\)

Giải:

a) \(\left( {1 - {m^2}} \right){\left( {x + 1} \right)^3} + {x^2} - x - 3 = 0\)

\(f\left( x \right) = \left( {1 - {m^2}} \right){\left( {x + 1} \right)^3} + {x^2} - x - 3\) là hàm đa thức liên tục trên R. Do đó nó liên tục trên [-2; -1]

Ta có \(f\left( { - 1} \right) = - 1 < 0\)và \(f\left( { - 2} \right) = {m^2} + 2 > 0\)nên \(f\left( { - 1} \right)f\left( { - 2} \right) < 0\)với mọim.

Do đó, phương trình \(f\left( x \right) = 0\)luôn có ít nhất một nghiệm trong khoảng (-2; -1) với mọim. Nghĩa là, phương trình \(\left( {1 - {m^2}} \right){\left( {x + 1} \right)^3} + {x^2} - x - 3 = 0\)luôn có nghiệm với mọim.

b) \(m\left( {2\cos x - \sqrt 2 } \right) = 2\sin 5x + 1\)

HD: Xét hàm số \(f\left( x \right) = m\left( {2\cos x - \sqrt 2 } \right) - 2\sin 5x - 1\)trên đoạn \(\left[ { - {\pi \over 4};{\pi \over 4}} \right]\)