Bài 57 trang 89 sgk Toán lớp 9 tập 2
Bài 57. Trong các hình sau, hình nào nội tiếp được một đường tròn:
Hình bình hành, hình chữ nhật, hình vuông, hình thang, hình thang vuông, hình thang cân ? Vì sao?
Hướng dẫn giải:
Hình bình hành nói chung không nội tiếp được đường tròn vì tổng hai góc đối diện không bằng\[180^0\].Trường hợp riêng của hình bình hành là hình chữ nhật [hay hình vuông] thì nội tiếp đường tròn vì tổng hai góc đối diện là \[90^0\] +\[90^0\]=\[180^0\]
Hình thang nói chung, hình thang vuông không nội tiếp được đường tròn.
Hình thang cân \[ABCD [BC= AD]\] có hai góc ở mỗi đáy bằng nhau
\[\widehat{A}\]=\[\widehat{B}\],\[\widehat{C}\]=\[\widehat{D}\]; mà\[\widehat{A}\]+\[\widehat{D}\]= \[180^0\] [hai góc trong cùng phía tạo bởi cát tuyến \[AD\] với \[AD // CD\]],suy ra\[\widehat{A}\]+\[\widehat{C}\]=\[180^0\]. Vậy hình thang cân luôn có tổng hai góc đối diện bằng\[180^0\]nên nội tiếp được đường tròn
Bài 58 trang 90 sgk Toán lớp 9 tập 2
Bài 58.Cho tam giác đều \[ABC\]. Trên nửa mặt phẳng bờ \[BC\] không chứa đỉnh \[A\], lấy điểm \[D\] sao cho \[DB = DC\] và\[\widehat{DCB}\]=\[\frac{1}{2}\]\[\widehat{ACB}\].
a] Chứng minh \[ABDC\] là tứ giác nội tiếp.
b] Xác định tâm của đường tròn đi qua bốn điểm \[A, B, D, C\].
Hướng dẫn giải:
a] Theo giả thiết,\[\widehat{DCB}\]=\[\frac{1}{2}\]\[\widehat{ACB}\]=\[\frac{1}{2}\].\[60^0\]= \[30^0\]
\[\widehat{ACD}\]=\[\widehat{ACB}\]+\[\widehat{BCD}\][tia \[CB\] nằm giữa hai tia \[CA, CD\]]
\[\Rightarrow\]\[\widehat{ACD}\]= \[60^0\]+ \[30^0\]=\[90^0\] [1]
Do \[DB = CD\] nênBDC cân =>\[\widehat{DBC}\]=\[\widehat{DCB}\]=30o
Từ đó\[\widehat{ABD}\]=\[30^0\]+\[60^0\]=\[90^0\][2]
Từ [1] và [2] có\[\widehat{ACD}\]+\[\widehat{ABD}\]= \[180^0\]nên tứ giác \[ABDC\] nội tiếp được.
b] Vì\[\widehat{ABD}\]= \[90^0\]nên \[AD\] là đường kính của đường tròn ngoại tiếp tứ giác \[ABDC\], do đó tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác \[ABDC\] là trung điểm \[AD\].
Bài 59 trang 90 sgk Toán lớp 9 tập 2
Bài 59.Cho hình bình hành \[ABCD\]. Đường tròn đi qua ba đỉnh \[A, B, C\] cắt đường thẳng \[CD\] tại \[P\] khác \[C\]. Chứng minh \[AP = AD\]
Hướng dẫn giải:
Do tứ giác \[ABCP\] nội tiếp nên ta có:
\[\widehat{BAP}\]+\[\widehat{BCP}\]= \[180^0\] [1]
Ta lại có:\[\widehat{ABC}\]+\[\widehat{BCP}\]= \[180^0\] [2]
[hai góc trong cùng phía tạo bởi cát tuyến \[CB\] và \[AB // CD\]]
Từ [1] và [2] suy ra:\[\widehat{BAP}\]=\[\widehat{ABC}\]
Vậy \[ABCP\] là hình thang cân, suy ra \[AP = BC\] [3]
nhưng \[BC = AD\] [hai cạnh đối đỉnh của hình bình hành] [4]
Từ [3] và [4] suy ra \[AP = AD\].
Bài 60 trang 90 sgk Toán lớp 9 tập 2
Bài 60. Xem hình 48. Chứng minh \[QR // ST\].
Hướng dẫn giải:
Kí hiệu như hình vẽ.
Ta có tứ giác \[ISTM\] nội tiếp đường tròn nên:
\[\widehat{S_{1}}\]+\[\widehat{M}\]=\[180^0\]
Mà\[\widehat{M_{1}}\]+\[\widehat{M_{3}}\]=\[180^0\][kề bù]
nên suy ra\[\widehat{S_{1}}\]=\[\widehat{M_{3}}\] [1]
Tương tự từ các tứ giác nội tiếp \[IMPN\] và \[INQS\] ta được
\[\widehat{M_{3}}\] = \[\widehat{N_{4}}\] [2]
\[\widehat{N_{4}}\]= \[\widehat{R_{2}}\] [3]
Từ [1], [2], [3] suy ra\[\widehat{S_{1}}\]= \[\widehat{R_{2}}\][hai góc ở vị trí so le trong].
Do đó \[QR // ST\]